Calcule a integral.
y=\int_{\operatorname{sen} x}^{1} \sqrt{1+t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\int_{\operatorname{sen} x}^{1}\sqrt{1+t^{2}}\,dt
e pede para calcular essa integral (ou seja, encontrar y como função de x). Informações relevantes:
  • A variável de integração é t.
  • O limite superior é 1 (constante).
  • O limite inferior é \operatorname{sen} x (depende de x).
  • A integranda é \sqrt{1+t^{2}}.

Passo 2

Para calcular a integral indefinida \displaystyle\int \sqrt{1+t^{2}}\,dt precisamos achar uma primitiva explícita de \sqrt{1+t^{2}}. Uma técnica bastante eficaz aqui é a substituição hiperbólica
t=\operatorname{sinh} u,
porque então \sqrt{1+t^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}u}=\operatorname{cosh} u (identidade hiperbólica) e dt=\operatorname{cosh} u\,du. Vou explicar essa escolha: a função \operatorname{sinh} u tem a propriedade de transformar \sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}u} em \operatorname{cosh} u, o que simplifica muito a integranda.

Passo 3

Fazendo a substituição t=\operatorname{sinh} u:
dt=\operatorname{cosh} u\,du,\qquad \sqrt{1+t^{2}}=\operatorname{cosh} u.
Portanto a integral indefinida vira
\int \sqrt{1+t^{2}}\,dt = \int \operatorname{cosh} u\cdot \operatorname{cosh} u\,du = \int \operatorname{cosh}^{2}u\,du.
Para integrar \operatorname{cosh}^{2}u usamos a identidade
\operatorname{cosh}^{2}u=\frac{1+\operatorname{cosh} 2u}{2}.
Então
\int \operatorname{cosh}^{2}u\,du = \int \frac{1+\operatorname{cosh} 2u}{2}\,du = \frac{u}{2}+\frac{\operatorname{sinh} 2u}{4}+C.
Agora voltamos à variável t. Primeiro u=\operatorname{arsinh} t (definição inversa de \operatorname{sinh}). E
\operatorname{sinh} 2u = 2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u = 2t\sqrt{1+t^{2}}.
Substituindo:
\int \sqrt{1+t^{2}}\,dt = \frac{1}{2}\operatorname{arsinh} t + \frac{1}{4}\cdot 2t\sqrt{1+t^{2}} + C.
Simplificando:
\boxed{\displaystyle F(t)=\frac{1}{2}\bigl(t\sqrt{1+t^{2}}+\operatorname{arsinh} t\bigr)+C}
Lembrando que \operatorname{arsinh} t=\ln\!\bigl(t+\sqrt{1+t^{2}}\bigr), podemos também escrever a primitiva como
\displaystyle F(t)=\frac{1}{2}\bigl(t\sqrt{1+t^{2}}+\ln(t+\sqrt{1+t^{2}})\bigr)+C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva F(t):
y=F(1)-F(\operatorname{sen} x).
Calculamos cada termo:
F(1)=\frac{1}{2}\Bigl(1\cdot\sqrt{1+1^{2}}+\operatorname{arsinh}(1)\Bigr) =\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2}+\operatorname{arsinh}(1)\Bigr).
Como \operatorname{arsinh}(1)=\ln(1+\sqrt{2}), fica
F(1)=\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\Bigr).
E
F(\operatorname{sen} x)=\frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{sen} x\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}x}+\operatorname{arsinh}(\operatorname{sen} x)\Bigr),
onde \operatorname{arsinh}(\operatorname{sen} x)=\ln\!\bigl(\operatorname{sen} x+\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}x}\bigr).
Subtraindo:
y=\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\Bigr) -\frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{sen} x\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}x}+\ln\!\bigl(\operatorname{sen} x+\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}x}\bigr)\Bigr).
Podemos colocar em um único parêntese:
\displaystyle y=\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})-\operatorname{sen} x\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}x}-\ln\!\bigl(\operatorname{sen} x+\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}x}\bigr)\Bigr).

Passo 5

Breve checagem (útil para a prova): pela regra da derivada de uma integral com limite dependente, deve valer
\frac{dy}{dx}=-\sqrt{1+(\operatorname{sen} x)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x) = -\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}x}\cdot\operatorname{cos} x.
Se derivar a expressão encontrada para y usando derivação de funções compostas e a derivada de \operatorname{arsinh}, obtém-se exatamente essa expressão, confirmando que a primitiva foi aplicada corretamente.

Resposta

\displaystyle y=\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})-\operatorname{sen} x\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}x}-\ln\!\bigl(\operatorname{sen} x+\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}x}\bigr)\Bigr)

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