Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular essa integral (ou seja, encontrar
como função de
). Informações relevantes:
- A variável de integração é
. - O limite superior é
(constante). - O limite inferior é
(depende de ). - A integranda é
.
Passo 2
Para calcular a integral indefinida
precisamos achar uma primitiva explícita de
. Uma técnica bastante eficaz aqui é a substituição hiperbólica
porque então
(identidade hiperbólica) e
. Vou explicar essa escolha: a função
tem a propriedade de transformar
em
, o que simplifica muito a integranda.
Passo 3
Fazendo a substituição
:
Portanto a integral indefinida vira
Para integrar
usamos a identidade
Então
Agora voltamos à variável
. Primeiro
(definição inversa de
). E
Substituindo:
Simplificando:
Lembrando que
, podemos também escrever a primitiva como
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva
:
Calculamos cada termo:
Como
, fica
E
onde
.
Subtraindo:
Podemos colocar em um único parêntese:
Passo 5
Breve checagem (útil para a prova): pela regra da derivada de uma integral com limite dependente, deve valer
Se derivar a expressão encontrada para
usando derivação de funções compostas e a derivada de
, obtém-se exatamente essa expressão, confirmando que a primitiva foi aplicada corretamente.