\int_{0}^{2} x\left(2+x^{5}\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida \displaystyle \int_{0}^{2} x\left(2+x^{5}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Integração no intervalo de 0 até 2.
  • Integrando é x(2+x^{5}).

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o integrando distribuindo o x. Isso facilita a integração termo a termo.
x(2+x^{5}) = 2x + x^{6}.

Passo 3

Lembrando a regra básica de integrais (Regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui vamos usar essa regra para cada termo. Também usaremos a linearidade da integral:
\int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.

Passo 4

Aplicando a regra aos termos 2x e x^{6}:
  • Para 2x: tratar como constante 2 vezes x. Como x=x^{1},
\int 2x\,dx = 2\int x^{1}\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
  • Para x^{6}:
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7}.
Portanto uma primitiva (antiderivada) do integrando é
F(x)=x^{2}+\frac{x^{7}}{7}.

Passo 5

Para integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a=0 e b=2. Calculando:
F(2)=2^{2}+\frac{2^{7}}{7}=4+\frac{128}{7},
F(0)=0^{2}+\frac{0^{7}}{7}=0.

Passo 6

Agora simplificar F(2)-F(0):
4+\frac{128}{7} = \frac{4\cdot7}{7}+\frac{128}{7}=\frac{28}{7}+\frac{128}{7}=\frac{156}{7}.
Portanto
\int_{0}^{2} x\left(2+x^{5}\right)\,dx=\frac{156}{7}.

Resposta

\dfrac{156}{7}

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