Calcule a integral.
∫₀³(2senx-eˣ)dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\bigl(2\sin x - e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração definida de função soma, e vamos usar linearidade de integrais, antiderivadas de \sin x e de e^{x} e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Pela linearidade, escrevemos
\int_{0}^{3}\bigl(2\sin x - e^{x}\bigr)\,dx = \int_{0}^{3}2\sin x\,dx \;-\;\int_{0}^{3}e^{x}\,dx.

Passo 3

Calculamos as antiderivadas:
  • Para 2\sin x, uma antiderivada é -2\cos x, pois \frac{d}{dx}(-2\cos x)=2\sin x.
  • Para e^{x}, uma antiderivada é e^{x}, pois \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.
    Logo, uma primitiva para o integrando é
F(x) = -2\cos x \;-\; e^{x}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{3}\bigl(2\sin x - e^{x}\bigr)\,dx = F(3) - F(0).
Calculamos
F(3) = -2\cos 3 \;-\; e^{3}, \quad F(0) = -2\cos 0 \;-\; e^{0} = -2\cdot1 -1 = -3.

Passo 5

Fazendo a diferença,
F(3)-F(0) = \bigl(-2\cos 3 - e^{3}\bigr) - (-3) = -2\cos 3 - e^{3} + 3 = 3 \;-\; 2\cos 3 \;-\; e^{3}.

Resposta

\int_{0}^{3}\bigl(2\sin x - e^{x}\bigr)\,dx = 3 - 2\cos 3 - e^{3}.

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