Calcule: integral-pi^pi x^2 cos x d x

Passo 1

Estamos para calcular a integral definida integral-pi^pi x^2 cos x , dx. O conteúdo envolve integração de funções pares e uso do método de integração por partes.

Passo 2

Observamos que f(x)=x^2cos x é uma função par (produto de função par x^2 por função par cos x). Logo podemos usar simetria: integral-pi^pi x^2cos x,dx = 2integral0^pi x^2cos x,dx.

Passo 3

Para calcular integral0^pi x^2cos x,dx, aplicamos integração por partes: escolhemos u=x^2 e dv=cos x,dx. Assim du=2x,dx e v=sin x, resultando em integral x^2cos x,dx = x^2sin x - integral 2xsin x,dx.

Passo 4

Agora calculamos integral 2xsin x,dx por partes novamente: tomamos u1=x, dv1=sin x,dx, então du1=dx e v1=-cos x. Obtemos integral xsin x,dx = -xcos x + sin x e multiplicando por 2: integral 2xsin x,dx = -2xcos x + 2sin x.

Passo 5

Substituindo de volta, temos integral x^2cos x,dx = x^2sin x + 2xcos x - 2sin x. Avaliando de 0 a pi: no limite x=pi -2pi e em 0 dá 0. Logo integral0^pi x^2cos x,dx = -2pi.

Passo 6

Finalmente, pela simetria, integral-pi^pi x^2cos x,dx = 2(-2pi) = -4pi.

Resposta

-4\pi

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