Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área exata da superfície que surge quando a curva $ y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{\ln(x)}{2} $ é girada em torno do eixo $ y $, no intervalo de $ x $ entre 1 e 2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo $ y $. A fórmula é:
Aqui, $ x $ é a função que estamos girando, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, e $ [a, b] $ é o intervalo de $ x $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Dada a função:
Sua derivada será:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão dentro da raiz quadrada da fórmula da área:
Vamos expandir o quadrado:
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar $ x^{2} + 1 $ de 1 a 2:
Resposta
Portanto, a área exata da superfície é: