Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo y.
y=x^24-ln (x)2 ; 1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área exata da superfície que surge quando a curva $ y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{\ln(x)}{2} $ é girada em torno do eixo $ y $, no intervalo de $ x $ entre 1 e 2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo $ y $. A fórmula é:
y
Aqui, $ x $ é a função que estamos girando, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, e $ [a, b] $ é o intervalo de $ x $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Dada a função:
y
Sua derivada será:
x

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão dentro da raiz quadrada da fórmula da área:
1 + (dydx)^2 = 1 + (x2 - 12x)^2
Vamos expandir o quadrado:
(x2 - 12x)^2 = x^24 - 12 + 14x^2
Então:
1 + (dydx)^2 = 1 + x^24 - 12 + 14x^2 = x^24 + 12 + 14x^2

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na fórmula da área:
A = 2pi integral1^2 x raizx^24 + 12 + 14x^2 , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
x^24 + 12 + 14x^2 = (x^2 + 2 + 1x^2)4 = (x + 1x)^24
Então, a raiz fica:
raiz(x + 1x)^24 = x + 1x2

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
A = 2pi integral1^2 x cdot x + 1x2 , dx = pi integral1^2 (x^2 + 1) , dx

Passo 7

Agora, vamos integrar $ x^{2} + 1 $ de 1 a 2:
x^2 + 1

Resposta

Portanto, a área exata da superfície é:
A = pi cdot 103 = 10pi3

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