(Questão extra:) Mostre que lim x 1 x^2 cdot sen 1x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite quando $ x $ se aproxima de 1 de $ x^{2} \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ é igual a 0. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o Teorema do Aperto (também conhecido como Teorema do Squeeze). Isso vai nos ajudar a confinar o valor da função entre dois limites que sabemos o que fazem quando $ x $ se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade básica da função seno: para qualquer número real $ y $, sabemos que:
y
Isso significa que o seno de qualquer coisa nunca vai passar de 1 nem cair abaixo de -1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função. Como temos $ \sin\left(\frac{1}{x}\right) $, podemos escrever:
sin(1x)
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por $ x^{2} $ (que é positivo quando $ x $ está próximo de 1), temos:
-1 <= sin(1x) <= 1

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando $ x $ se aproxima de 1. Sabemos que:
x
Então, nossa função $ x^{2} \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ está “presa” entre -1 e 1 quando $ x $ está perto de 1.

Passo 5

Pelo Teorema do Aperto, se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então a função no meio também tem esse limite. No nosso caso:
limx to 1 (-x^2) = limx to 1 x^2 = 1
Mas, na verdade, queremos mostrar que o limite é 0. Isso indica que há uma pequena confusão. De fato, se o limite fosse quando $ x $ se aproxima de 0, aí sim poderíamos concluir que o limite é 0 usando o Teorema do Aperto, porque $ x^{2} $ tende a 0.
Portanto, assumindo que o limite correto é quando $ x $ se aproxima de 0:

Resposta

limx to 0 x^2 cdot sin(1x) = 0

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