Considere uma função
que seja contínua em
e que
. Mostre que
tal que
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma função $ f $ que é contínua em $ x = 0 $ e que $ f(0) = 1 $. Precisamos mostrar que existe um número positivo $ \delta $ tal que, para todo $ x $ no domínio de $ f $, se $ -\delta < x < \delta $, então $ \frac{1}{2} < f(x) < \frac{5}{2} $.
O conteúdo aqui envolve o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de continuidade em um ponto.
Passo 2
Sabemos que uma função é contínua em um ponto se, para qualquer número positivo $ \epsilon $, existe um $ \delta $ correspondente que garante que $ f(x) $ fique dentro de um intervalo ao redor de $ f(0) $ quando $ x $ está suficientemente perto de 0.
Formalmente, para toda $ \epsilon > 0 $, existe $ \delta > 0 $ tal que se $ |x - 0| < \delta $, então $ |f(x) - f(0)| < \epsilon $.
Passo 3
Queremos que $ f(x) $ esteja entre $ \frac{1}{2} $ e $ \frac{5}{2} $. Isso pode ser reescrito como:
Isso equivale a:
Então, vamos escolher $ \epsilon = \frac{3}{2} $.
Passo 4
Aplicando a definição de continuidade com $ \epsilon = \frac{3}{2} $, existe um $ \delta > 0 $ tal que se $ |x| < \delta $, então:
Isso implica que:
Resposta
Existe um $ \delta > 0 $ tal que, para todo $ x $ com $ -\delta < x < \delta $, temos $ \frac{1}{2} < f(x) < \frac{5}{2} $.