Calcule a integral
QUESTÃO 5. \int \frac{x^{4}+2 x^{2}-1}{\sqrt{x}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{4} + 2x^{2} - 1}{\sqrt{x}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração pela regra da potência. Para isso vamos usar que \sqrt{x} = x^{1/2} e a fórmula
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o integrando transformando a raiz em potência negativa:
\frac{x^{4} + 2x^{2} - 1}{\sqrt{x}} = (x^{4} + 2x^{2} - 1)\,x^{-1/2} = x^{4 - 1/2} + 2\,x^{2 - 1/2} - x^{-1/2} = x^{7/2} + 2\,x^{3/2} - x^{-1/2}.
Logo a integral vira
\int \bigl(x^{7/2} + 2x^{3/2} - x^{-1/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra da potência termo a termo:
\int x^{7/2}\,dx = \frac{x^{9/2}}{9/2} = \frac{2}{9}\,x^{9/2},
\int 2\,x^{3/2}\,dx = 2\cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{4}{5}\,x^{5/2},
\int (-\,x^{-1/2})\,dx = -\,\frac{x^{1/2}}{1/2} = -\,2\,x^{1/2}.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{x^{4} + 2x^{2} - 1}{\sqrt{x}}\,dx = \frac{2}{9}\,x^{9/2} + \frac{4}{5}\,x^{5/2} - 2\,x^{1/2} + C.

Resposta

\frac{2}{9}\,x^{9/2} + \frac{4}{5}\,x^{5/2} - 2\,x^{1/2} + C.

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