Resolver a integral pela técnica de integração por substituição
QUESTÃO 8. Calcule a integral \int x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{10} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int x^{2}\bigl(x^{3}-1\bigr)^{10}\,dx
usando a técnica de integração por substituição. Vamos identificar uma parte do integrando cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{3}-1,
de modo que sua diferencial seja
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
\int x^{2}\bigl(x^{3}-1\bigr)^{10}\,dx = \int \bigl(u\bigr)^{10}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{10}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{3}\int u^{10}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{11}}{11}+C = \frac{u^{11}}{33}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = x^{3}-1:
\frac{u^{11}}{33}+C = \frac{\bigl(x^{3}-1\bigr)^{11}}{33}+C.

Resposta

\frac{\bigl(x^{3}-1\bigr)^{11}}{33}+C

Exercícios relacionados