Resolver a integral pela técnica de integração por substituição
QUESTÃO 9. Calcule a integral \int \mathrm{x}\left(2 \mathrm{x}^{2}+1\right)^{6} \mathrm{dx}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x\,(2x^{2}+1)^{6}\,dx
usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão cuja derivada apareça multiplicando, permitindo simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x^{2} + 1.
Diferenciando,
du = 4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int x\,(2x^{2}+1)^{6}\,dx = \int u^{6}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{6}\,du.
Agora integramos u^{6}:
\int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7},
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\frac{1}{4}\int u^{6}\,du = \frac{1}{4}\,\frac{u^{7}}{7} = \frac{u^{7}}{28} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que u=2x^{2}+1, obtemos
\frac{u^{7}}{28} + C = \frac{\bigl(2x^{2}+1\bigr)^{7}}{28} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{(2x^{2}+1)^{7}}{28} + C

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