Calcule a integral.
r)
r)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida:
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto
. - É uma integral indefinida, portanto a resposta deve vir com a constante de integração
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática). Vou explicar a fórmula de integração por partes de forma bem direta. Partimos da regra do produto para derivadas:
onde
e
são funções de
. Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
O lado esquerdo é simplesmente
. Reescrevendo com diferenciais
e
dá-se a forma usual:
Aqui:
-
é uma função escolhida; é sua diferencial, isto é . -
é a outra parte escolhida; é uma primitiva de , ou seja .
Passo 3
Escolha das partes (motivo e cálculo). Para integrandos do tipo polinômio vezes função trigonométrica, convém escolher
como o polinômio (porque sua derivada simplifica) e
como a função trigonométrica (porque é fácil de integrar). Então escolhemos:
Agora calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes. Substituindo
,
,
e
em
obtemos:
Passo 5
Calcular a integral restante. A integral de
é conhecida:
Substituindo isso em (Passo 4) dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Checagem rápida (verificação). Para ter certeza de que o resultado está correto, derivamos a resposta encontrada e vemos se voltamos ao integrando. Derivando
:
que é exatamente o integrando. A verificação bate certinho.
Passo 7
Comentário final e dica de prova. Resultado obtido é direto com integração por partes. Dica prática: quando tiver produto de polinômio (ou
,
, etc.) por seno/cosseno/exponencial, sempre tente
= polinômio e
= restante; isso costuma simplificar bastante.