Calcule a integral.
r)
\int \theta \cos \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida:
\int \theta \cos\theta \, d\theta.
Informações dadas:
  • A variável de integração é \theta.
  • O integrando é o produto \theta\cos\theta.
  • É uma integral indefinida, portanto a resposta deve vir com a constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática). Vou explicar a fórmula de integração por partes de forma bem direta. Partimos da regra do produto para derivadas:
\frac{d}{d\theta}(u\cdot v)=u\frac{dv}{d\theta}+v\frac{du}{d\theta},
onde u e v são funções de \theta. Integrando ambos os lados em relação a \theta obtemos
\int \frac{d}{d\theta}(u v)\,d\theta=\int u\,\frac{dv}{d\theta}\,d\theta+\int v\,\frac{du}{d\theta}\,d\theta.
O lado esquerdo é simplesmente u v. Reescrevendo com diferenciais du e dv dá-se a forma usual:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função escolhida; du é sua diferencial, isto é du=\dfrac{du}{d\theta}\,d\theta.
  • dv é a outra parte escolhida; v é uma primitiva de dv, ou seja v=\int dv.

Passo 3

Escolha das partes (motivo e cálculo). Para integrandos do tipo polinômio vezes função trigonométrica, convém escolher u como o polinômio (porque sua derivada simplifica) e dv como a função trigonométrica (porque é fácil de integrar). Então escolhemos:
u=\theta,\qquad dv=\cos\theta\,d\theta.
Agora calculamos du e v:
du=d\theta\qquad\text{(pois }\frac{d}{d\theta}\theta=1\text{)},
v=\int \cos\theta\,d\theta=\sin\theta.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes. Substituindo u, v, du e dv em \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos:
\int \theta\cos\theta\,d\theta = \theta\sin\theta - \int \sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral restante. A integral de \sin\theta é conhecida:
\int \sin\theta\,d\theta = -\cos\theta.
Substituindo isso em (Passo 4) dá:
\int \theta\cos\theta\,d\theta = \theta\sin\theta - (-\cos\theta) = \theta\sin\theta + \cos\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Checagem rápida (verificação). Para ter certeza de que o resultado está correto, derivamos a resposta encontrada e vemos se voltamos ao integrando. Derivando \theta\sin\theta+\cos\theta:
\frac{d}{d\theta}\big(\theta\sin\theta+\cos\theta\big)=\sin\theta+\theta\cos\theta - \sin\theta = \theta\cos\theta,
que é exatamente o integrando. A verificação bate certinho.

Passo 7

Comentário final e dica de prova. Resultado obtido é direto com integração por partes. Dica prática: quando tiver produto de polinômio (ou \theta, x, etc.) por seno/cosseno/exponencial, sempre tente u = polinômio e dv = restante; isso costuma simplificar bastante.

Resposta

\theta\sin\theta+\cos\theta+C

Exercícios relacionados