Calcule integral raiz1-x1+x d x.
DICA:
  • Multiplique por raiz1-x1-x manipule e faça uma substituição trigonométrica.

Passo 1

Queremos calcular a integral
I = integral raiz1 - x1 + x,dx
O conteúdo aqui é integração por manipulação algébrica do integrando e uso de integrais básicas do tipo integral1/raiz1-x^2,dx e integral x/raiz1-x^2,dx.

Passo 2

Para simplificar a raiz, multiplicamos numerador e denominador dentro da raiz por raiztfrac1 - x1 - x. Assim,
raiz1 - x1 + x = raiz1 - x1 + xcdot1 - x1 - x = raiz(1 - x)^21 - x^2 = 1 - xraiz1 - x^2
Logo a integral vira
I = integral 1 - xraiz1 - x^2,dx

Passo 3

Agora separamos a integral em duas:
I = integral 1raiz1 - x^2,dx ;-;integral xraiz1 - x^2,dx

Passo 4

Usamos as integrais conhecidas para a=1:
integral 1raiz1 - x^2,dx = arcsin(x)+C1, integral xraiz1 - x^2,dx = -raiz1 - x^2+C2
Portanto
I = arcsin(x) ;-;l(-raiz1 - x^2r) + C = arcsin(x) + raiz1 - x^2 + C

Resposta

boxed integral raiz1 - x1 + x,dx = arcsin(x) + raiz1 - x^2 + C

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