Ex. 4.20
Utilize a ideia da construção descrita no Exercício 4.17 e proponha um método de construção de uma perpendicular a uma reta dada passando por um ponto desta reta.

Passo 1

Temos uma reta l e um ponto P sobre ela; o objetivo é traçar, com régua e compasso, a perpendicular a l que passe por P. Vamos usar a ideia do Exercício 4.17, que consiste em construir a mediatriz de um segmento. Se fizermos de modo que P seja o ponto médio de um segmento, a mediatriz desse segmento será exatamente a perpendicular desejada.

Passo 2

Escolha um ponto A sobre a reta l, distinto de P. Com o compasso, trace a circunferência de centro P e raio PA.
Essa circunferência corta l em A e em outro ponto B. Por construção, PA=PB, logo P é o ponto médio de AB.

Passo 3

Agora aplique a construção da mediatriz ao segmento AB (Ex. 4.17):
  1. Com centro em A e raio maior que tfrac12AB, trace uma circunferência.
  2. Com o mesmo raio e centro em B, trace outra.
  3. Marque as interseções C e D dessas duas circunferências.
  4. Una C a D.
    A reta CD é a mediatriz de AB e, por P ser seu ponto médio, CD passa em P e forma ângulo reto com AB. Mas como ABsubset l, segue que CD é a perpendicular a l em P.

Resposta

A reta obtida unindo os pontos de interseção C e D das circunferências construídas no Passo 4 é a perpendicular à reta dada l que passa por P.

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