Ex. 4.20
Utilize a ideia da construção descrita no Exercício 4.17 e proponha um método de construção de uma perpendicular a uma reta dada passando por um ponto desta reta.
Passo 1
Temos uma reta e um ponto sobre ela; o objetivo é traçar, com régua e compasso, a perpendicular a que passe por . Vamos usar a ideia do Exercício 4.17, que consiste em construir a mediatriz de um segmento. Se fizermos de modo que seja o ponto médio de um segmento, a mediatriz desse segmento será exatamente a perpendicular desejada.
Passo 2
Escolha um ponto sobre a reta , distinto de . Com o compasso, trace a circunferência de centro e raio .
Essa circunferência corta l em A e em outro ponto B. Por construção, PA=PB, logo P é o ponto médio de AB.
Passo 3
Agora aplique a construção da mediatriz ao segmento AB (Ex. 4.17):
Com centro em A e raio maior que tfrac12AB, trace uma circunferência.
Com o mesmo raio e centro em B, trace outra.
Marque as interseções C e D dessas duas circunferências.
Una C a D.
A reta CD é a mediatriz de AB e, por P ser seu ponto médio, CD passa em P e forma ângulo reto com AB. Mas como ABsubset l, segue que CD é a perpendicular a l em P.
Resposta
A reta obtida unindo os pontos de interseção C e D das circunferências construídas no Passo 4 é a perpendicular à reta dada l que passa por P.