Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^prime prime prime+y^prime prime-2 y=0, sabendo que apresenta na sua base de solução o termo e^x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y''' + y'' - 2y = 0
e diz que um dos termos da base é e^x. Vamos usar o método do polinômio característico para obter todas as raízes e, daí, montar a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^r x. Substituindo na equação a gente obtém o polinômio característico
r^3 + r^2 - 2 = 0

Passo 3

Como já sabemos que e^x é solução, isso significa r=1 é raiz do polinômio. Então dividimos
r^3 + r^2 - 2
por (r-1). A divisão dá como quociente
r^2 + 2r + 2

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
r^2 + 2r + 2 = 0
O discriminante é De<a = 2^2 - 4cdot1cdot2 = -4, logo as raízes são
r = -1 pm i

Passo 5

Com as raízes r1 = 1 e r2,3 = -1 pm i, a solução geral fica como soma das partes real e imaginária das exponenciais complexas:
y(x) = C1 e^x + e^-xl(C2 cos x + C3 sin xr),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^x + e^-xl(C2 cos x + C3 sin xr)

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