Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
, sabendo que apresenta na sua base de solução o termo
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
e diz que um dos termos da base é
. Vamos usar o método do polinômio característico para obter todas as raízes e, daí, montar a solução geral.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação a gente obtém o polinômio característico
Passo 3
Como já sabemos que
é solução, isso significa
é raiz do polinômio. Então dividimos
por
. A divisão dá como quociente
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
O discriminante é
, logo as raízes são
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral fica como soma das partes real e imaginária das exponenciais complexas:
onde
são constantes arbitrárias.