Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^prime prime prime+3 y^prime prime+3 y^prime+y=0, sabendo que apresenta na sua base de solução o termo e^-x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y''' + 3y'' + 3y' + y = 0
sabendo que uma das soluções é e^-x. Para resolver, vamos usar o método da equação característica e o fato de que raízes repetidas geram fatores polinomiais na solução.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo y=e^rx, substituímos na equação dada e obtemos a equação característica
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0

Passo 3

Sabendo que r=-1 é uma raiz (já que e^-x é solução), fazemos a fatoração
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = (r + 1)^3 = 0,
ou seja, r=-1 é raiz de multiplicidade três.

Passo 4

Para uma raiz real r0 de multiplicidade m, as soluções associadas são
e^r0 x,; x e^r0 x,; x^2 e^r0 x,;dots,; x^m-1e^r0 x
Aqui r0=-1 e m=3, logo a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,x + C3,x^2r)e^-x,
com constantes arbitrárias C1,C2,C3.

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,x + C3,x^2r)e^-x

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