Calcule:
integral e^raiz3 t+9 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de $ e^{\sqrt{3 t + 9}} $ em relação a $ t $. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, para resolver isso. Precisaremos fazer uma substituição inteligente para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que a expressão dentro da raiz quadrada, $ \sqrt{3t + 9} $, parece ser uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = raiz3t + 9
Agora, precisamos encontrar $ du $ em termos de $ dt $. Para isso, derivamos ambos os lados em relação a $ t $:
du
dt
t
Como $ u = \sqrt{3t + 9} $, substituímos de volta:
dudt = 12(3t + 9)^-1/2 cdot 3

Passo 4

Agora, substituímos $ u $ e $ dt $ na integral original:
u
Isso simplifica para:
dt

Passo 5

Para resolver $ \int u e^{u} , du $, vamos usar a técnica de integração por partes, que diz:
integral u e^u , du
Escolhemos:
integral u , dv = uv - integral v , du
a = u Rightarrow da = du
Aplicando a fórmula:
dv = e^u , du Rightarrow v = e^u
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du
= u e^u - e^u + C

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
23 integral u e^u , du = 23 ( e^u(u - 1) ) + C
Substituindo $ u = \sqrt{3t + 9} $ de volta:
u = raiz3t + 9

Resposta

A integral de $ e^{\sqrt{3t + 9}} $ em relação a $ t $ é:
e^raiz3t + 9

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