Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de $ e^{\sqrt{3 t + 9}} $ em relação a $ t $. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, para resolver isso. Precisaremos fazer uma substituição inteligente para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que a expressão dentro da raiz quadrada, $ \sqrt{3t + 9} $, parece ser uma boa candidata para substituição.
Passo 3
Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, precisamos encontrar $ du $ em termos de $ dt $. Para isso, derivamos ambos os lados em relação a $ t $:
Como $ u = \sqrt{3t + 9} $, substituímos de volta:
Passo 4
Agora, substituímos $ u $ e $ dt $ na integral original:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para resolver $ \int u e^{u} , du $, vamos usar a técnica de integração por partes, que diz:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Substituindo $ u = \sqrt{3t + 9} $ de volta:
Resposta
A integral de $ e^{\sqrt{3t + 9}} $ em relação a $ t $ é: