Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
em
P(0,0)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se ela é contínua em
P(0,0) .
Conteúdo: continuidade de função de duas variáveis no ponto crítico, usando limite.]
Conteúdo: continuidade de função de duas variáveis no ponto crítico, usando limite.]
Passo 2
Para mostrar que
f é contínua em
(0,0) , precisamos verificar que
Ou seja, calcular o limite quando
(x,y) tende a
(0,0) .
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares, definindo
com
r>=0 . Então, para
(x,y)neq(0,0) , o numerador fica
e o denominador é
x^2+y^2=r^2 . Assim
onde
Passo 4
Como
sintheta e
costheta são funções limitadas,
g(theta) é uma função limitada em
theta . Logo existe constante
M>0 tal que
lvert g(theta)rvert<= M para todo
theta . Portanto
Quando
rto0 , o lado direito tende a
0 . Pelo Teorema do Confronto,
Passo 5
Como o limite de
f(x,y) quando
(x,y)to(0,0) é igual a
0=f(0,0) , concluímos que
f é contínua em
(0,0) .
Resposta
A função é contínua em
P(0,0) .