Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
f(x, y)=lly^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0), em P(0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)= dfracy^4+3x^2y^2+2yx^3x^2+y^2, & (x,y)neq(0,0),[6pt] 0, & (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se ela é contínua em P(0,0).
Conteúdo: continuidade de função de duas variáveis no ponto crítico, usando limite.]

Passo 2

Para mostrar que f é contínua em (0,0), precisamos verificar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Ou seja, calcular o limite quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares, definindo
x=rcostheta, y=rsintheta,
com r>=0. Então, para (x,y)neq(0,0), o numerador fica
y^4+3x^2y^2+2yx^3 =r^4l(sin^4theta+3cos^2theta,sin^2theta+2cos^3theta,sinthetar)
e o denominador é x^2+y^2=r^2. Assim
f(r,theta) =r^4l(sin^4theta+3cos^2theta,sin^2theta+2cos^3theta,sinthetar)r^2 =r^2,g(theta),
onde
g(theta)=sin^4theta+3cos^2theta,sin^2theta+2cos^3theta,sintheta

Passo 4

Como sintheta e costheta são funções limitadas, g(theta) é uma função limitada em theta. Logo existe constante M>0 tal que lvert g(theta)rvert<= M para todo theta. Portanto
lvert f(r,theta)rvert =llvert r^2g(theta)rrvert <= M,r^2
Quando rto0, o lado direito tende a 0. Pelo Teorema do Confronto,
limrto0f(r,theta)=0

Passo 5

Como o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) é igual a 0=f(0,0), concluímos que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em P(0,0).

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