Calcule a integral integral raiz9-x^2x^2 d x.

Passo 1

Primeiro, nosso objetivo é calcular integral raiz9 - x^2x^2,dx. Esse problema envolve integração por substituição trigonométrica, pois aparece raiz9-x^2.

Passo 2

Fazendo a substituição x = 3sintheta, temos
dx = 3costheta,dtheta,
raiz9 - x^2 = 3costheta e
x^2 = 9sin^2theta.
Substituindo na integral, obtemos:
integral raiz9 - x^2x^2,dx = integral 3costheta9sin^2theta cdot 3costheta,dtheta = integral cot^2theta,dtheta

Passo 3

Reconhecemos a identidade trigonométrica cot^2theta = csc^2theta - 1. Assim,
integral cot^2theta,dtheta = integral (csc^2theta - 1),dtheta = -cottheta - theta + C

Passo 4

Para voltar à variável x, usamos
$$\cot\theta = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x},\quad \theta = \arcsin\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr).
cottheta = raiz9 - x^2x, theta = arcsinl(x3r) é
-\frac{\sqrt{9 - x^2}}{x} ;-
\arcsin\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr) + C.
$$

Resposta

-\frac{\sqrt{9 - x^2}}{x} - \arcsin\bigl(\frac{x}{3}\bigr) + C

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