Calcule a integral:
integral x^2+4 x+1(x-1)(x+1)(x+3) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integral x^2+4x+1(x-1)(x+1)(x+3),dx. Esse é um problema de integral de função racional e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Assumimos que
x^2+4x+1(x-1)(x+1)(x+3)= racAx-1+Bx+1+Cx+3
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1)(x+3) obtemos
x^2+4x+1=A(x+1)(x+3)+B(x-1)(x+3)+C(x-1)(x+1)

Passo 3

Expandindo cada termo:
A(x^2+4x+3)+B(x^2+2x-3)+C(x^2-1)=(A+B+C)x^2+(4A+2B)x+(3A-3B-C)
Igualando com x^2+4x+1 temos o sistema
A+B+C=1,
4A+2B=4,
3A-3B-C=1

Passo 4

Da segunda equação vem 2A+B=2, logo B=2-2A. Substituindo na primeira, A+(2-2A)+C=1 C=A-1. Colocando B e C na terceira equação:
3A-3(2-2A)-(A-1)=1
que simplifica para
8A-5=1implies A=tfrac34

Passo 5

Então B=2-2cdottfrac34=tfrac12 e C=tfrac34-1=-tfrac14. Logo
x^2+4x+1(x-1)(x+1)(x+3)=3/4x-1+1/2x+1-1/4x+3

Passo 6

A integral fica
integral3/4x-1,dx+integral1/2x+1,dx-integral1/4x+3,dx
Como integraldxx-a=ln|x-a|, obtemos
34ln|x-1|+12ln|x+1|-14ln|x+3|+C

Resposta

\frac{3}{4}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln|x+3|+C

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