Calcule a integral.
integral raizx^2-1x^4 d x
integral0^2 / 3 raiz4-9 x^2 d x
integral0^1 / 2 x raiz1-4 x^2 d x
integral0^2 1raiz4+t^2 d t
integral0^1 1(x^2+1)^2 d x
integral0^a x^2 raiza^2-x^2 d x
integralraiz23^23 1x^5 raiz9 x^2-1 d x
integral xraizx^2-7 d x
integral0^0,6 x^2raiz9-25 x^2 d x
integral0^1 raizx-x^2 d x
integral raiz5+4 x-x^2 d x
integral0^pi / 2 cos (t)raiz1+sen^2(t) d t

Passo 1

O enunciado lista doze integrais, algumas indefinidas e outras definidas, que envolvem substituições trigonométricas, hiperbólicas e algébricas. Vamos resolver uma a uma, aplicando as técnicas de integração adequadas.

Passo 2

Integral 1.
integral raizx^2-1x^4,dx
Faça x=sectheta, então raizx^2-1=tantheta e dx=secthetatantheta,dtheta. O integrando vira
tanthetasec^4theta,l(secthetatantheta,dthetar) =secthetatan^2thetasec^4theta,dtheta =sin^2thetacostheta,dtheta
Use sin^2theta=1-cos^2theta:
integral(costheta-cos^3theta),dtheta =sintheta-sin^3theta3+C
Voltando a x: sintheta=raizx^2-1x, logo
sin^3theta=(x^2-1)^3/2x^3,
integral raizx^2-1x^4,dx =raizx^2-1x -(x^2-1)^3/23x^3+C

Passo 3

Integral 2.
integral0^2/3raiz4-9x^2,dx
Use 3x=2sintheta, dx=tfrac23costheta,dtheta, o integrando fica
2costhetacdot23costheta =43cos^2theta
Os limites vão de theta=0 a theta=pi/2.
integral0^pi/243cos^2theta,dtheta =43integral0^pi/21+cos2theta2,dtheta =23l[theta+sin2theta2r]0^pi/2 =pi3

Passo 4

Integral 3.
integral0^1/2xraiz1-4x^2,dx
Use u=1-4x^2, du=-8x,dx. Então
x,dx=-18,du, raiz1-4x^2=raizu,
e os limites vão de u(0)=1 a u(1/2)=0. Assim
integral0^1/2xraiz1-4x^2,dx =integral1^0raizul(-18r)du =18integral0^1u^1/2du =18cdot23 =112

Passo 5

Integral 4.
integral0^21raiz4+t^2,dt
Sabe-se integraldtraiza^2+t^2=lnl(t+raiza^2+t^2r). Aqui a=2:
l[lnl(t+raiz4+t^2r)r]0^2 =lnl(2+raiz8r)-ln2 =lnl(1+raiz2r)

Passo 6

Integral 5.
integral0^11(x^2+1)^2,dx
A primitiva é
integraldx(x^2+1)^2 =x2(x^2+1)+12arctan x +C
Avalie de 0 a 1:
12cdot2+12cdotpi4 = 14+pi8

Passo 7

Integral 6.
integral0^ax^2raiza^2-x^2,dx
Faça x=asintheta, dx=acostheta,dtheta. Então
x^2raiza^2-x^2,dx =a^4sin^2thetacos^2theta,dtheta =a^44sin^22theta,dtheta,
com theta de 0 a pi/2.
a^44integral0^pi/2sin^22theta,dtheta =a^44cdot12integral0^pi/2(1-cos4theta),dtheta =pi a^416

Passo 8

Integral 7.
integralraiz23^23 1x^5raiz9x^2-1,dx
Use t=1/x, leva a uma integral em theta com t=3sintheta. O resultado final é
81pi32+567raiz3-129664
(Detalhes de cálculo via t=1/x e t=3sintheta.)

Passo 9

Integral 8.
integral xraizx^2-7,dx
Faça u=x^2-7, du=2x,dx. Então
integralxraizx^2-7,dx =12integral u^-1/2,du =raizu+C =raizx^2-7+C

Passo 10

Integral 9.
integral0^0,6x^2raiz9-25x^2,dx
Use x=35sintheta. Calcula-se
integral0^pi/227125sin^2theta,dtheta =27125cdotpi4 =27pi500

Passo 11

Integral 10.
integral0^1raizx-x^2,dx
Complete o quadrado: x-x^2=tfrac14-(x-tfrac12)^2. Dá
pi8

Passo 12

Integral 11.
integralraiz5+4x-x^2,dx =integralraiz9-(x-2)^2,dx
Usando a primitiva de raiza^2-u^2, obtemos
x-22raiz9-(x-2)^2+92arcsin!l(x-23r)+C

Passo 13

Integral 12.
integral0^pi/2cos traiz1+sin^2t,dt
Com u=sin t, du=cos t,dt, torna-se
integral0^1duraiz1+u^2 =l[arsinh(u)r]0^1 =lnl(1+raiz2r)

Resposta

  1. raizx^2-1x-(x^2-1)^3/23x^3+C
  2. pi3
  3. 112
  4. lnl(1+raiz2r)
  5. 14+pi8
  6. pi a^416
  7. 81pi32+567raiz3-129664
  8. raizx^2-7+C
  9. 27pi500
  10. pi8
  11. x-22raiz9-(x-2)^2+92arcsin!l(x-23r)+C
  12. lnl(1+raiz2r)

Exercícios relacionados