Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente à técnica de frações parciais. Vamos precisar decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso ajuda a transformar a fração complicada em somas de frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 3
Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 5
Vamos expandir os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações, descobrimos que A = 12, B = -12 e C = 12.
Passo 7
Substituindo os valores de A, B e C na decomposição das frações parciais:
1(x+1)(x^2 +1) = 12x+1 + -12x + 12x^2 +1
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 ( 12(x+1) + - 12x + 12 x^2 +1 ) dx
Isso se divide em:
12 integral 1x+1dx + -1/2 1 integral xx^2 +1 dx + 12 integral 1x^2 +1 dx
Passo 9
Vamos integrar cada parte:
12 integral 1x+1 dx = 12 ln|x+1|
-12 integral xx^2 +1 dx = -14 ln(x^2 +1) (usando substituição u = x^2 +1)