Calcule as integrais abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral integral0^1 1(x+1)(x^2+1) dx. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente à técnica de frações parciais. Vamos precisar decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1(x+1)(x^2 +1) em frações parciais. Isso ajuda a transformar a fração complicada em somas de frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Assumimos que:
1(x+1)(x^2 +1) = Ax+1 + Bx + Cx^2 +1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x+1)(x^2 +1) para eliminar as frações:
1 = A(x^2 +1) + (Bx + C)(x+1)

Passo 5

Vamos expandir os termos do lado direito:
1 = A x^2 + A + Bx^2 + Bx + Cx + C
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^2 + (B + C)x + (A + C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 0 B + C = 0 A + C = 1
Resolvendo esse sistema de equações, descobrimos que A = 12, B = -12 e C = 12.

Passo 7

Substituindo os valores de A, B e C na decomposição das frações parciais:
1(x+1)(x^2 +1) = 12x+1 + -12x + 12x^2 +1

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 ( 12(x+1) + - 12x + 12 x^2 +1 ) dx
Isso se divide em:
12 integral 1x+1dx + -1/2 1 integral xx^2 +1 dx + 12 integral 1x^2 +1 dx

Passo 9

Vamos integrar cada parte:
  1. 12 integral 1x+1 dx = 12 ln|x+1|
  2. -12 integral xx^2 +1 dx = -14 ln(x^2 +1) (usando substituição u = x^2 +1)
  3. 12 integral 1x^2 +1 dx = 12 tan^-1(x)

Passo 10

Juntando as integrais:
12 ln|x+1| - 14 ln(x^2 +1) + 12 tan^-1(x) gr|0^1

Passo 11

Agora, avaliamos de 0 a 1:
  • Quando x = 1:
12 ln(2) - 14 ln(2) + 12 cdot pi4 = 14 ln(2) + pi8
  • Quando x = 0:
12 ln(1) - 14 ln(1) + 12 cdot 0 = 0

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
14 ln(2) + pi8

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