Calcule a Integral a seguir utilizando o método de INTEGRAÇÃO POR PARTES: ∫ x.cosx.dx Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.
A) x.senx+cosx+C
B) x^2/2+x.senx+C
C) x.cosx-senx+C
D) x+senx+C
E) Inx+C
A) x.senx+cosx+C
B) x^2/2+x.senx+C
C) x.cosx-senx+C
D) x+senx+C
E) Inx+C
Passo 1
Vamos resumir o que temos: precisamos calcular a integral de $ x \cdot \cos(x) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \int x \cos(x) , dx $. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos escolher:
E, consequentemente:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos calcular a integral que sobrou:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A alternativa correta é:
A) $ x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C $