Calcule a Integral a seguir utilizando o método de INTEGRAÇÃO POR PARTES: ∫ x.cosx.dx Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.
A) x.senx+cosx+C
B) x^2/2+x.senx+C
C) x.cosx-senx+C
D) x+senx+C
E) Inx+C

Passo 1

Vamos resumir o que temos: precisamos calcular a integral de $ x \cdot \cos(x) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \int x \cos(x) , dx $. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes:
x cdot cos(x)

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos escolher:
u
E, consequentemente:
dv

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes substituindo os valores que encontramos:
integral x cos(x) , dx = u cdot v - integral v , du
= x cdot sin(x) - integral sin(x) , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral que sobrou:
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Então, substituindo de volta:
integral x cos(x) , dx = x sin(x) - (-cos(x)) + C
= x sin(x) + cos(x) + C

Resposta

A alternativa correta é:
A) $ x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C $

Exercícios relacionados