Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm. Determine o lado desse hexágono.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um hexágono regular, que é um polígono de seis lados todos iguais e com todos os ângulos iguais. O que a gente precisa descobrir aqui é o tamanho de um lado desse hexágono, sabendo que a distância entre dois lados paralelos é de 1 cm. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre as propriedades dos polígonos regulares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a relação entre o lado de um hexágono regular e a distância entre dois lados paralelos. Em um hexágono regular, essa distância é conhecida como a altura ou a “altura do hexágono”. A fórmula que relaciona a altura $ h $ com o lado $ a $ é:
Isso acontece porque um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros, e a altura desse triângulo nos dá essa relação.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o valor do lado $ a $. Sabemos que a altura $ h $ é 1 cm. Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Para encontrar $ a $, vamos isolar ele na equação. Dividimos ambos os lados por $ \sqrt{3} $:
Geralmente, racionalizamos o denominador para facilitar a interpretação:
Resposta
O lado do hexágono tem comprimento de $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ centímetros.