Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas, das quais pelo menos 4 sejam pretas?​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre combinações. Temos uma urna com 10 bolas brancas e 6 pretas, totalizando 16 bolas. Queremos saber de quantas maneiras podemos tirar 7 bolas, garantindo que pelo menos 4 delas sejam pretas. Para resolver isso, vamos usar princípios de combinação, que nos ajudam a contar de quantas formas podemos selecionar grupos de objetos sem se preocupar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que “pelo menos 4 pretas” significa que podemos ter 4, 5 ou 6 bolas pretas nas 7 que vamos tirar. Então, vamos calcular cada uma dessas possibilidades separadamente e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos começar com o caso de tirar exatamente 4 bolas pretas e 3 brancas.
  • Bolas pretas: Temos 6 bolas pretas e queremos escolher 4 delas. A quantidade de combinações é dada por:
    binom64 = 6!4!(6-4)! = 15
  • Bolas brancas: Temos 10 bolas brancas e queremos escolher 3 delas:
    binom103 = 10!3!(10-3)! = 120
  • Total para este caso:
    15 times 120 = 1800

Passo 4

Agora, vamos para o caso de tirar exatamente 5 bolas pretas e 2 brancas.
  • Bolas pretas:
    binom65 = 6!5!(6-5)! = 6
  • Bolas brancas:
    binom102 = 10!2!(10-2)! = 45
  • Total para este caso:
    6 times 45 = 270

Passo 5

Por fim, vamos considerar tirar todas as 6 bolas pretas e 1 branca.
  • Bolas pretas:
    binom66 = 6!6!(6-6)! = 1
  • Bolas brancas:
    binom101 = 10!1!(10-1)! = 10
  • Total para este caso:
    1 times 10 = 10

Resposta

Somando todas as possibilidades:
1800 + 270 + 10 = 2080
Então, existem 2.080 maneiras de tirar 7 bolas com pelo menos 4 pretas.

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