Faça o gráfico das funções dadas pelas leis seguintes, com domínio em R, destacando o conjunto de imagem:
a) y= x² - 6x + 8
b) y= -2x² + 4x
c) y= x² - 4x + 4
a) y= x² - 6x + 8
b) y= -2x² + 4x
c) y= x² - 4x + 4
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos o gráfico de três funções quadráticas, com domínio em todos os números reais ($ \mathbb{R} $), e destacar o conjunto de imagem de cada uma. Isso significa que vamos precisar saber como desenhar parábolas e identificar suas respectivas faixas de valores possíveis (os chamados “intervalos de imagem”). Vamos dar uma olhada em cada parte do exercício.
Passo 2
Vamos começar com a letra a), que tem a função $ y = x^2 - 6x + 8 $. Primeiro, vamos entender que essa é uma função do segundo grau, ou seja, uma parábola. Para desenhar o gráfico, precisamos encontrar o vértice da parábola, que nos ajuda a identificar seu ponto mais baixo ou mais alto, dependendo de como ela está orientada.
Passo 3
Para encontrar o vértice, usamos a fórmula das coordenadas do vértice para funções quadráticas: $ x_v = -\frac{b}{2a} $ e $ y_v = f(x_v) $. Aqui, $ a = 1 $, $ b = -6 $, e $ c = 8 $.
Calculando $ x_v $:
Agora, substituímos $ x_v $ na função para encontrar $ y_v $:
Então, o vértice é $ (3, -1) $.
Passo 4
Como o coeficiente de $ x^2 $ é positivo ($ a = 1 > 0 $), a parábola está voltada para cima. Isso significa que o vértice é o ponto mais baixo da parábola. Agora, para encontrar o conjunto de imagem, observamos que, como a parábola abre para cima, ela irá de $ y = -1 $ até $ y = +\infty $.
Então, o conjunto de imagem é:
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico. Sabemos que a parábola tem um vértice em $ (3, -1) $ e abre para cima. Podemos escolher alguns valores de $ x $ próximos a 3 para encontrar mais pontos:
- Para $ x = 2 $:
Então, o ponto $ (2, 0) $.
- Para $ x = 4 $:
Então, o ponto $ (4, 0) $.
Assim, a parábola cruza o eixo $ x $ nos pontos $ (2, 0) $ e $ (4, 0) $.
Passo 6
Plotando esses pontos e desenhando a parábola que passa por eles e pelo vértice $ (3, -1) $, conseguimos visualizar o gráfico da função $ y = x^2 - 6x + 8 $. O gráfico terá a forma de uma “U” virada para cima, com a parte mais baixa em $ y = -1 $, e irá se estender indefinidamente para cima.
Resposta Final - Parte a):
O gráfico da função $ y = x^2 - 6x + 8 $ é uma parábola que abre para cima, com vértice em $ (3, -1) $. O conjunto de imagem é $ y \geq -1 $.
O gráfico da função $ y = x^2 - 6x + 8 $ é uma parábola que abre para cima, com vértice em $ (3, -1) $. O conjunto de imagem é $ y \geq -1 $.
Passo 7
Agora, vamos para a letra b), com a função $ y = -2x^2 + 4x $. Assim como antes, é uma função do segundo grau, mas com um coeficiente de $ x^2 $ negativo ($ a = -2 $), o que significa que a parábola abre para baixo.
Passo 8
Vamos encontrar o vértice usando a mesma fórmula:
Substituindo $ x_v $ na função para achar $ y_v $:
Então, o vértice é $ (1, 2) $.
Passo 9
Como a parábola abre para baixo ($ a = -2 < 0 $), o vértice é o ponto mais alto. O conjunto de imagem, portanto, vai de $ y = -\infty $ até $ y = 2 $.
Passo 10
Para esboçar o gráfico, vamos encontrar alguns pontos adicionais:
- Para $ x = 0 $:
Então, o ponto $ (0, 0) $.
- Para $ x = 2 $:
Então, o ponto $ (2, 0) $.
Com esses pontos e o vértice $ (1, 2) $, desenhamos a parábola que abre para baixo.
Passo 11
O gráfico será uma parábola em forma de “∩”, com o ponto mais alto em $ (1, 2) $, cruzando o eixo $ x $ nos pontos $ (0, 0) $ e $ (2, 0) $, e estendendo-se para baixo indefinidamente.
Resposta Final - Parte b):
O gráfico da função $ y = -2x^2 + 4x $ é uma parábola que abre para baixo, com vértice em $ (1, 2) $. O conjunto de imagem é $ y \leq 2 $.
O gráfico da função $ y = -2x^2 + 4x $ é uma parábola que abre para baixo, com vértice em $ (1, 2) $. O conjunto de imagem é $ y \leq 2 $.
Passo 12
Por fim, vamos resolver a letra c), com a função $ y = x^2 - 4x + 4 $. Novamente, é uma função quadrática com $ a = 1 > 0 $, então a parábola abre para cima.
Passo 13
Encontramos o vértice:
Substituindo na função:
Então, o vértice é $ (2, 0) $.
Passo 14
Como a parábola abre para cima, o vértice $ (2, 0) $ é o ponto mais baixo. O conjunto de imagem será de $ y = 0 $ até $ y = +\infty $.
Passo 15
Para plotar, vamos achar alguns pontos:
- Para $ x = 1 $:
Então, $ (1, 1) $.
- Para $ x = 3 $:
Então, $ (3, 1) $.
Com esses pontos e o vértice $ (2, 0) $, desenhamos a parábola.
Passo 16
O gráfico mostrará uma parábola em forma de “U”, com o ponto mais baixo em $ (2, 0) $, cruzando o eixo $ y $ no ponto $ (0, 4) $ e passando pelos pontos $ (1, 1) $ e $ (3, 1) $, estendendo-se para cima.
Resposta Final - Parte c):
O gráfico da função $ y = x^2 - 4x + 4 $ é uma parábola que abre para cima, com vértice em $ (2, 0) $. O conjunto de imagem é $ y \geq 0 $.
O gráfico da função $ y = x^2 - 4x + 4 $ é uma parábola que abre para cima, com vértice em $ (2, 0) $. O conjunto de imagem é $ y \geq 0 $.
Resposta
Conforme detalhado nos passos acima, os gráficos das funções são:
a) $ y = x^2 - 6x + 8 $ — parábola abrindo para cima com vértice em $ (3, -1) $ e imagem $ y \geq -1 $.
b) $ y = -2x^2 + 4x $ — parábola abrindo para baixo com vértice em $ (1, 2) $ e imagem $ y \leq 2 $.
c) $ y = x^2 - 4x + 4 $ — parábola abrindo para cima com vértice em $ (2, 0) $ e imagem $ y \geq 0 $.