Calcule
e) integral sen x(1+cos x)^3 d x
Calcule
lim h 0 1h integral2^2+h raiz5+t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral indefinida integral sin x(1+cos x)^3,dx e também o limite limhto01hintegral2^2+hraiz5+t^2,dt. O conteúdo envolve técnica de substituição em integrais e o teorema fundamental do cálculo para limites de integrais.

Passo 2

Para a integral, façamos a substituição clássica em problemas com 1+cos x: definimos u = 1 + cos x. Então
du = -sin x,dx
Logo sin x,dx = -du. A integral original vira
integral sin x(1+cos x)^3,dx = integral -duu^3 = -integral u^-3,du

Passo 3

Agora integramos em u:
-integral u^-3,du = -u^-2-2 + C = 12u^2 + C
Voltando para x, como u = 1 + cos x, ficamos com
boxed12l(1+cos xr)^2 + C

Passo 4

Para o limite
L = limhto01hintegral2^2+hraiz5+t^2,dt,
usamos a ideia de que, para função contínua f,
limhto01hintegrala^a+hf(t),dt = f(a)
Aqui f(t)=raiz5+t^2 e a=2. Então
L = raiz5+2^2 = raiz9 = 3

Resposta

Integral: 12l(1+cos xr)^2 + C. Limite: 3.

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