Seja G(t)=ln (t) tg(t).
b. (1 , 5 ponto) Calcule G^prime prime(t).
(Dica: lembre que h(t)^2=h(t) cdot h(t).)

Passo 1

O exercício pede a derivada segunda de G(t)=ln(t)·tg(t). O conteúdo envolvido é derivada de produto e derivada de funções elementares (ln e tg), além de saber que .

Passo 2

Primeiro vamos achar a primeira derivada usando a regra do produto: se G(t)=u(t)·v(t), então G'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t). Aqui u(t)=ln(t) e . Assim,

Passo 3

Agora derivamos G'(t). Note que é soma de dois termos, chamemos e A(t)=tg(t)t. Vamos derivar um a um.
Para usamos regra do produto:

Passo 4

Para B(t)=ln(t)·[sec(t)]^2 lembramos que [sec(t)]^2=sec^2(t) e sua derivada é 2sec^2(t)tan(t) (dica do quadrado). Usando produto:
B'(t)=1tsec^2(t)+ln(t)·2sec^2(t)tan(t)=sec^2(t)t+2ln(t)sec^2(t)tan(t)

Passo 5

Somando A'(t) e B'(t) obtemos G''(t)=A'(t)+B'(t). Reunindo termos:
G''(t)=-tan(t)t^2+sec^2(t)t+sec^2(t)t+2ln(t)sec^2(t)tan(t),

Passo 6

e simplificando os termos iguais:
G''(t)=-tan(t)t^2+2sec^2(t)t+2ln(t)sec^2(t)tan(t)

Resposta

G''(t)=-tan(t)t^2+2sec^2(t)t+2ln(t)sec^2(t)tan(t)

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