Calcule integral(sen(x)-cos (x))^2 d x

Passo 1

Resumo do exercício: Precisamos calcular a integral de (sen(x) - cos(x))^2 em relação a x. Vamos trabalhar com álgebra e funções trigonométricas para resolver isso. Para isso, vamos expandir o quadrado e integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (sen(x) - cos(x))^2. Lembre-se que (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Aplicando isso:
(sen(x) - cos(x))^2 = sen^2(x) - 2,sen(x)cos(x) + cos^2(x)

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral separando cada termo:
integral (sen^2(x) - 2,sen(x)cos(x) + cos^2(x)) , dx = integral sen^2(x) , dx - 2integral sen(x)cos(x) , dx + integral cos^2(x) , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral individualmente. Primeiro, a integral de sen^2(x):
Sabemos que sen^2(x) = 1 - cos(2x)2. Então:
integral sen^2(x) , dx = integral 1 - cos(2x)2 , dx = x2 - sen(2x)4

Passo 5

Agora, a integral de sen(x)cos(x):
Usamos a identidade integral sen(x)cos(x) , dx = 12sen^2(x). Portanto:
-2integral sen(x)cos(x) , dx = -2 cdot 12sen^2(x) = -sen^2(x)

Passo 6

Por último, a integral de cos^2(x):
Sabemos que cos^2(x) = 1 + cos(2x)2. Então:
integral cos^2(x) , dx = integral 1 + cos(2x)2 , dx = x2 + sen(2x)4

Passo 7

Agora, vamos somar todas as partes que calculamos:
x2 - sen(2x)4 - sen^2(x) + x2 + sen(2x)4 + C
Simplificando, os termos com sen(2x) se cancelam, e somamos os termos com x:
x2 + x2 = x
Então, a integral fica:
x - sen^2(x) + C

Resposta

A integral de (sen(x) - cos(x))^2 é x - sen^2(x) + C, onde C é a constante de integração.

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