Calcule a integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR x y e^x^2 y ,dA sobre o retângulo R = (x,y):0 <= x <= 1,; 0 <= y <= 2. O conteúdo é integração múltipla, usando Fubini para escrever como integral iterada e técnicas de substituição.

Passo 2

Aplicando o teorema de Fubini, escrevemos
integral duplaR x y e^x^2 y,dA = integraly=0^2 l(integralx=0^1 x y e^x^2 y,dxr) dy
Como y é constante na integral interna, vamos focar em integral0^1 x y e^x^2 y,dx.

Passo 3

Para calcular integral0^1 x y e^x^2 y,dx, fazemos a substituição u = x^2y. Assim
du = 2x y,dx Longrightarrow x y,dx = 12,du
Os limites em u vão de u(0)=0 até u(1)=y. Logo,
integral0^1 x y e^x^2 y,dx = integralu=0^y 12 e^u,du = 12l[e^ur]0^y = 12(e^y-1)

Passo 4

Substituindo na integral em y, obtemos
integral duplaR x y e^x^2 y,dA = integral0^2 12(e^y-1),dy = 12l[integral0^2 e^y,dy - integral0^2 1,dyr] = 12l[(e^2-1) - 2r]

Resposta

e^2-32

Exercícios relacionados