Calcule a integral dupla.
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Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR x y e^x^2-y^2,dA onde R=[-1,1]times[0,3]. O conteúdo é integração de funções separáveis e uso de simetria de funções ímpares.

Passo 2

Observamos que o integrando se separa em função de x vezes função de y:
x y e^x^2-y^2 = (x e^x^2) cdot (y e^-y^2)
Como a região R é produto cartesiano, a integral dupla fatoriza:
integral duplaR x y e^x^2-y^2,dA = l(integral-1^1 x e^x^2,dxr)cdotl(integral0^3 y e^-y^2,dyr)

Passo 3

Agora notamos que x e^x^2 é uma função ímpar de x, pois f(-x) = -x e^x^2 = -f(x). Logo, integrando de -1 a 1 obtemos zero:
integral-1^1 x e^x^2,dx = 0

Passo 4

Como o primeiro fator vale zero, o produto de integrais também será zero, independentemente do segundo fator.

Passo 5

Portanto, a integral dupla avaliada sobre R é zero.

Resposta

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