Calcule a integral dupla.

Passo 1

Temos que calcular a integral dupla
iintR x ln(y),dA
sobre o retângulo
R=(x,y)in R^2:0<= x<=2,;1<= y<=2
O conteúdo aqui é integração dupla em regiões retangulares. Vamos usar integrais iteradas para separar as variáveis, e depois integração por partes para resolver a parte em y.

Passo 2

Como a região é retangular, escrevemos a integral dupla como iterada em ordem x depois y:
integral duplaR xln(y),dA=integraly=1^2integralx=0^2xln(y),dx,dy

Passo 3

Na integral interna em x, a função ln(y) é constante em relação a x. Logo,
integral0^2xln(y),dx=ln(y)integral0^2x,dx=ln(y)[x^22]0^2=2ln(y)
Então a dupla se reduz a

Passo 4

integral1^22ln(y),dy=2integral1^2ln(y),dy

Passo 5

Para calcular integralln(y),dy, usamos integração por partes. Seja
u=ln(y), dv=dyimplies du=1ydy, v=y
Então
integralln(y),dy=yln(y)-integral ycdot1y,dy=yln(y)-y+C

Passo 6

Voltando à nossa integral, temos
2integral1^2ln(y),dy=2l[yln(y)-yr]1^2 =2l((2ln2-2)-(1cdot0-1)r)=4ln2-2

Resposta

4\ln(2)-2

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