Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular treze integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, substituições e uso de fórmulas de redução de potência ou produto-para-soma. Os conteúdos principais são:
- Integrais de potências ímpares de
ou (usar extração de fator e -substituição); - Integrais definidas de
(fórmula de Beta ou redução de potência); - Substituição em integrais com
; - Redução de potência para integrais de mesmo tipo (ex.:
); - Transformar
em e usar ; - Produto de senos e cossenos com argumentos lineares (usar produto-para-soma);
- Integrais com
(identidade de meio ângulo); - Integração por partes quando aparece
multiplicando função trig.
Passo 2
Apresentamos as técnicas gerais:
- Se a soma das potências de
e é ímpar, extrair um fator de ou e usar ou . - Se ambas as potências são pares, usar redução de potência via
- Para
, tentar escrever tudo em termos de e usar . - Para integrais definidas de
no intervalo , usar
- Para produtos
ou , usar fórmulas:
- Para
, usar . - Quando surgir
multiplicando, usar integração por partes.
Passo 3
Aplicamos as técnicas listadas a cada integral:
(a)
:
Escreva , faça
,
.
Resultado:
Escreva
Resultado:
(b)
:
Use fórmula de Beta com ,
:
Use fórmula de Beta com
(c)
:
Redução de potência: .
Redução de potência:
(d)
:
Faça ,
. Então o integrando vira
.
Faça
volte
.
(e)
:
Use .
Use
(f)
:
.
(g)
:
. Seja
,
.
(h)
:
.
Avalie de
a
:
;
.
(i)
:
Use produto-para-soma:
Use produto-para-soma:
Logo
(j)
:
.
(k)
:
Use . No intervalo
,
.
Use
(l)
:
Escreva .
Escreva
Para
, use partes:
Subtraindo
, obtemos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)