Calcule a integral.
integral sen^3(x) cos ^2(x) d x
integral0^pi / 2 sen^7(theta) cos ^5(theta) d theta
integral0^pi / 2 cos ^2(theta) d theta
integral sen^3(raizx)raizx d x
integral0^pi / 2 sen^2(x) cos ^2(x) d x
integral tg^2(x) cos ^3(x) d x
integral tg^3(x) sec (x) d x
integral0^pi / 4 tg^4(t) d t
integral sen(8 x) cos (5 x) d x
integral sen(2 theta) sen(6 theta) d theta
integral0^pi / 6 raiz1+cos (2 x) d x
integral x tg^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular treze integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, substituições e uso de fórmulas de redução de potência ou produto-para-soma. Os conteúdos principais são:
  • Integrais de potências ímpares de sin x ou cos x (usar extração de fator e u-substituição);
  • Integrais definidas de sin^m xcos^n x (fórmula de Beta ou redução de potência);
  • Substituição em integrais com raizx;
  • Redução de potência para integrais de mesmo tipo (ex.: integralcos^2x,dx);
  • Transformar tan^k em sec e usar u=sec x;
  • Produto de senos e cossenos com argumentos lineares (usar produto-para-soma);
  • Integrais com raiz1+cos2x (identidade de meio ângulo);
  • Integração por partes quando aparece x multiplicando função trig.

Passo 2

Apresentamos as técnicas gerais:
  1. Se a soma das potências de sin e cos é ímpar, extrair um fator de sin x ou cos x e usar u=cos x ou u=sin x.
  2. Se ambas as potências são pares, usar redução de potência via
sin^2x=tfrac1-cos2x2, cos^2x=tfrac1+cos2x2
  1. Para integraltan^m xsec^n x,dx, tentar escrever tudo em termos de sec x e usar u=sec x.
  2. Para integrais definidas de sin^m xcos^n x no intervalo [0,pi/2], usar
integral0^pi/2sin^m xcos^n x,dx=12B!l(tfracm+12,tfracn+12r)
  1. Para produtos sin(a x)cos(b x) ou sin(a x)sin(b x), usar fórmulas:
sin Acos B=tfrac12[sin(A+B)+sin(A-B)], sin Asin B=tfrac12[cos(A-B)-cos(A+B)]
  1. Para raiz1+cos2x, usar 1+cos2x=2cos^2x.
  2. Quando surgir x multiplicando, usar integração por partes.

Passo 3

Aplicamos as técnicas listadas a cada integral:
(a) integralsin^3xcos^2x,dx:
Escreva sin^3x=sin x(1-cos^2x), faça u=cos x, du=-sin x,dx.
Resultado:
integralsin^3xcos^2x,dx = -integral(u^2-u^4),du = -u^33+u^55+C = -cos^3x3+cos^5x5+C
(b) integral0^pi/2sin^7thetacos^5theta,dtheta:
Use fórmula de Beta com m=7, n=5:
integral0^pi/2sin^7thetacos^5theta,dtheta =tfrac12B(4,3) =tfrac12Gamma(4)Gamma(3)Gamma(7) =1120
(c) integral0^pi/2cos^2theta,dtheta:
Redução de potência: cos^2theta=tfrac1+cos2theta2.
integral0^pi/2cos^2theta,dtheta =integral0^pi/21+cos2theta2,dtheta =[theta2+sin2theta4]0^pi/2 =pi4
(d) integralsin^3(raiz x)raiz x,dx:
Faça t=raiz x, dx=2t,dt. Então o integrando vira
sin^3t/tcdot2t,dt=2sin^3t,dt.
2integralsin^3t,dt =2integralsin t(1-cos^2t),dt =2l(-cos t+tfraccos^3t3r)+C =-2cos t+tfrac23cos^3t+C
volte t=raiz x.
(e) integral0^pi/2sin^2xcos^2x,dx:
Use sin^2xcos^2x=tfrac14sin^2(2x)=tfrac18(1-cos4x).
integral0^pi/2sin^2xcos^2x,dx =18integral0^pi/2(1-cos4x),dx =18l[pi2 -0r] =pi16
(f) integraltan^2xcos^3x,dx:
tan^2xcos^3x=sin^2xcos x.
integral(sin^2xcos x),dx =integral(!1-cos^2x),d(sin x) =sin x-sin^3x3+C =sin^3x3+C
(g) integraltan^3xsec x,dx:
tan^3xsec x=(sec^2x-1)tan xsec x. Seja u=sec x, du=sec xtan x,dx.
integral(sec^2x-1)tan xsec x,dx =integral(u^2-1),du =u^33-u+C =sec^3x3-sec x+C
(h) integral0^pi/4tan^4t,dt:
tan^4t=sec^4t-2sec^2t+1.
integraltan^4t,dt =integral(sec^4t-2sec^2t+1),dt =l[tan t+tfractan^3t3-2tan t+tr]+C =-tan t+tfractan^3t3+t+C
Avalie de 0 a pi/4: tan(pi/4)=1; tan0=0.
=-1+tfrac13+pi4 =-23+pi4
(i) integralsin(8x)cos(5x),dx:
Use produto-para-soma:
sin8xcos5x =tfrac12[sin(13x)+sin(3x)]
Logo
integralsin8xcos5x,dx =12integral[sin13x+sin3x],dx =-126cos13x-16cos3x+C
(j) integralsin(2theta)sin(6theta),dtheta:
sin Asin B=tfrac12[cos(A-B)-cos(A+B)].
integralsin2thetasin6theta,dtheta =12integral[cos(-4theta)-cos8theta],dtheta =12l[sin4theta4-sin8theta8r]+C
(k) integral0^pi/6raiz1+cos2x,dx:
Use 1+cos2x=2cos^2x. No intervalo [0,pi/6], cos x>0.
integral0^pi/6raiz2cos^2x,dx =raiz2integral0^pi/6cos x,dx =raiz2l[sin xr]0^pi/6 =raiz22
(l) integral xtan^2x,dx:
Escreva tan^2x=sec^2x-1.
integral x(sec^2x-1),dx =integral xsec^2x,dx-integral x,dx
Para integral xsec^2x,dx, use partes:
u=x, dv=sec^2x,dx ;Rightarrow; du=dx, v=tan x
integral xsec^2x,dx =xtan x-integraltan x,dx =xtan x+lnlvertcos xrvert+C
Subtraindo integral x,dx=x^2/2, obtemos
xtan x+lnlvertcos xrvert-x^22+C

Resposta

(a) -cos^3x3+cos^5x5+C
(b) 1120
(c) pi4
(d) -2cos(raiz x)+tfrac23cos^3(raiz x)+C
(e) pi16
(f) sin^3x3+C
(g) sec^3x3-sec x+C
(h) -23+pi4
(i) -126cos13x-16cos3x+C
(j) sin4theta8-sin8theta16+C
(k) raiz22
(l) xtan x+lnlvertcos xrvert-x^22+C

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