Calcule a integral integral sen(x) cos (x) d x por quatro métodos.
(a) Substituição u=sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin(x)cos(x),dx usando o método de substituição com u=sin(x). Vamos precisar lembrar da regra de derivação de sin(x) e da técnica de troca de variável na integral.

Passo 2

Definimos a substituição u=sin(x). Derivando ambos os lados em relação a x, temos du = cos(x),dx. Isso mostra que o termo cos(x),dx na integral original pode ser substituído por du.

Passo 3

Reescrevendo a integral original em termos de u, substituímos sin(x) por u e cos(x),dx por du. Assim,
integral sin(x)cos(x),dx = integral u,du

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de potência para integrar u. Sabemos que integral u,du = u^22 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u=sin(x). A solução fica
u^22 + C = sin^2(x)2 + C

Resposta

sin^2(x)2 + C

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