Calcule as seguintes integrais impróprias, ou mostre que são divergentes
(d) integral0^4 1raiz4-x d x

Passo 1

Resumindo o enunciado e o que precisamos: temos a integral imprópria
integral0^41raiz4-x,dx
O conteúdo aqui é integral imprópria por haver singularidade em x=4, e vamos usar limite e antiderivada de função potencial.

Passo 2

Identificando a singularidade e colocando em forma de limite: o denominador raiz4-x vai a zero quando xto4^-, gerando comportamento (4-x)^-1/2. Reescrevemos então
integral0^41raiz4-x,dx=limvarepsilonto0^+integral0^4-varepsilon(4-x)^-1/2,dx

Passo 3

Calculando a antiderivada e avaliando no intervalo [0,4-varepsilon]:
integral(4-x)^-1/2,dx=-2raiz4-x+C
Logo,
integral0^4-varepsilon1raiz4-x,dx=l[-2raiz4-xr]0^4-varepsilon=(-2raizvarepsilon)-(-2raiz4)=-2raizvarepsilon+4

Passo 4

Tomando o limite varepsilonto0^+: o termo -2raizvarepsilon tende a zero, o que mostra que a integral imprópria converge.

Resposta

4

Exercícios relacionados