Escreva a forma de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
x^2+9 x-12(3 x-1)(x+6)^2

Passo 1

Neste exercício, vamos decompor a função racional f(x)=x^2+9x-12(3x-1)(x+6)^2 em frações parciais. O tema é decomposição em frações parciais para fatores lineares simples e repetidos, sem determinar os valores numéricos dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e identificamos a multiplicidade de cada fator: o denominador é (3x-1) de multiplicidade 1 e (x+6) de multiplicidade 2.

Passo 3

Como cada fator é linear e um deles está repetido, a forma geral da decomposição em frações parciais é composta por um termo para cada fator simples e para cada potência do fator repetido.

Passo 4

Portanto, escrevemos a forma de frações parciais sem calcular os coeficientes:
Agora temos a estrutura pronta para, no futuro, determinar os valores de A, B e C, bastando igualar numeradores e resolver o sistema.

Resposta

x^2+9x-12(3x-1)(x+6)^2 = A3x-1 + Bx+6 + C(x+6)^2

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