Calcule.
integral sen x sen 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de sin x sin 3x , dx. Isso é um exercício de cálculo envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma fórmula trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma, o que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula importante que ajuda quando temos o produto de dois senos. A fórmula é:
sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B)2
Aqui, vamos aplicar essa fórmula com $ A = x $ e $ B = 3x $.

Passo 3

Aplicando a fórmula, temos:
sin x sin 3x = cos(x - 3x) - cos(x + 3x)2 = cos(-2x) - cos(4x)2
Sabemos que cos(-2x) = cos(2x) porque o cosseno é uma função par. Então fica:
sin x sin 3x = cos 2x - cos 4x2

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin x sin 3x , dx = integral cos 2x - cos 4x2 , dx = 12 integral cos 2x , dx - 12 integral cos 4x , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de cos kx , dx é sin kxk. Aplicando isso:
12 integral cos 2x , dx = 12 cdot sin 2x2 = sin 2x4
12 integral cos 4x , dx = 12 cdot sin 4x4 = sin 4x8

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das integrais:
sin 2x4 - sin 4x8 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

integral sin x sin 3x , dx = sin 2x4 - sin 4x8 + C

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