Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de $ \sin(2x) \sin(5x) , dx $. Esse tipo de problema está relacionado a integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o produto de senos. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma, o que facilita a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil para transformar o produto de dois senos em uma soma. A identidade que vamos usar é:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar o produto de senos em termos de cossenos, o que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Aplicando essa identidade ao nosso problema, onde $ A = 2x $ e $ B = 5x $, temos:
Simplificando dentro dos cossenos:
Sabemos que $ \cos(-3x) = \cos(3x) $ porque o cosseno é uma função par. Então:
Passo 4
Agora, nossa integral original fica:
Podemos fatorar o $ \frac{1}{2} $ para facilitar:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de $ \cos(kx) , dx $ é $ \frac{\sin(kx)}{k} $. Então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
Portanto, a integral de $ \sin(2x) \sin(5x) , dx $ é: