Calcule.
integral sen 2 x sen 5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de $ \sin(2x) \sin(5x) , dx $. Esse tipo de problema está relacionado a integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o produto de senos. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma, o que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil para transformar o produto de dois senos em uma soma. A identidade que vamos usar é:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Essa fórmula nos ajuda a simplificar o produto de senos em termos de cossenos, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso problema, onde $ A = 2x $ e $ B = 5x $, temos:
A = 2x
Simplificando dentro dos cossenos:
B = 5x
Sabemos que $ \cos(-3x) = \cos(3x) $ porque o cosseno é uma função par. Então:
sin(2x) sin(5x) = 12 [cos(2x - 5x) - cos(2x + 5x)]

Passo 4

Agora, nossa integral original fica:
integral sin(2x) sin(5x) , dx = integral 12 [cos(3x) - cos(7x)] , dx
Podemos fatorar o $ \frac{1}{2} $ para facilitar:
12

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de $ \cos(kx) , dx $ é $ \frac{\sin(kx)}{k} $. Então:
cos(kx) , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral de $ \sin(2x) \sin(5x) , dx $ é:
sin(2x) sin(5x) , dx

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