Em cada um dos Problemas 7 a 13, determine a série de Taylor da função dada em torno do ponto
. Determine, também, o raio de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = x $ em torno do ponto $ x_0 = 1 $ e também determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é série de Taylor e como aplicá-la a essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ x_0 $ é uma soma infinita que aproxima a função perto desse ponto. A fórmula geral da série de Taylor é:
Aqui, $ f’(x_0) $ é a derivada primeira de $ f $ avaliada em $ x_0 $, $ f’’(x_0) $ é a derivada segunda, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas para a nossa função $ f(x) = x $:
- A função original: $ f(x) = x $
- Primeira derivada: $ f’(x) = 1 $
- Segunda derivada: $ f’’(x) = 0 $
- Terceira derivada e todas as seguintes: $ f’’’(x) = 0 $, $ f’’’’(x) = 0 $, etc.
Passo 4
Com essas derivadas em mãos, vamos substituir na fórmula da série de Taylor em torno de $ x_0 = 1 $:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Observamos que todas as derivadas de ordem acima da primeira são zero. Isso significa que todos os termos da série de Taylor após o primeiro termo serão zero. Portanto, a série de Taylor fica assim:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. O raio de convergência indica até onde a série de Taylor aproxima a função original. No nosso caso, a série de Taylor exatamente iguala a função $ f(x) = x $ para qualquer valor de $ x $. Isso significa que a série converge para a função em todo o domínio dos números reais.
Resposta
A série de Taylor da função $ f(x) = x $ em torno de $ x_0 = 1 $ é $ f(x) = x $ e o raio de convergência da série é infinito.