Calcule a integral.
integral sen x+sec ^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin x + sec^5 x,dx. O conteúdo envolve duas partes: integração direta de sin x e redução de potência ímpar de secante (técnica de integração por partes para sec^5 x).

Passo 2

Separamos a integral: integral (sin x + sec^5 x),dx = integral sin x,dx + integral sec^5 x,dx A primeira parte é direta: Calculamos integral sin x,dx. A antiderivada de sin x é $ -\cos x$, pois -cos x.

Passo 3

Agora focamos em I=integral sec^5 x,dx. Escrevemos sec^5 x = sec^3 x,sec^2 x e vamos usar integração por partes. Definimos: u=sec^3 x, dv=sec^2 x,dx. Calculamos du e v:
du = 3sec^3 xtan x,dx, v=integral sec^2 x,dx = tan x

Passo 4

Pela fórmula de partes integral u,dv = uv - integral v,du, temos:
I = sec^3 xtan x - 3integral sec^3 xtan^2 x,dx Usamos tan^2 x=sec^2 x-1 dentro da integral:
I = sec^3 xtan x - 3integral sec^3 x(sec^2 x-1),dx = sec^3 xtan x - 3integral sec^5 x,dx + 3integral sec^3 x,dx

Passo 5

Reunimos I=integral sec^5 x,dx no mesmo lado:
I + 3I = sec^3 xtan x + 3integral sec^3 x,dx Longrightarrow 4I = sec^3 xtan x + 3integral sec^3 x,dx Falta integral sec^3 x,dx, cuja antiderivada padrão é
integral sec^3 x,dx = tfrac12l(sec xtan x + ln|sec x + tan x|r) Substituindo em 4I:
$$4I = \sec^3 x\tan x + \tfrac32\bigl(\sec x\tan x + \ln|\sec x + \tan x|\bigr).
$$Dividindo por 4, obtemos 4I = sec^3 xtan x + tfrac32l(sec xtan x + ln|sec x + tan x|r) .

Passo 6

Por fim, somamos com a parte de sin x. A antiderivada geral é a soma das duas partes calculadas acima, mais a constante C.

Resposta

F(x) = -cos x + 14sec^3 xtan x + 38sec xtan x + 38lnl|sec x + tan xr| + C

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