Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo envolve duas partes: integração direta de
e redução de potência ímpar de secante (técnica de integração por partes para
).
Passo 2
Separamos a integral:
A primeira parte é direta: Calculamos
. A antiderivada de
é $ -\cos x$, pois
.
Passo 3
Agora focamos em
. Escrevemos
e vamos usar integração por partes. Definimos:
,
. Calculamos
e
:
Passo 4
Pela fórmula de partes
, temos:
Passo 5
Reunimos
no mesmo lado:
$$4I = \sec^3 x\tan x + \tfrac32\bigl(\sec x\tan x + \ln|\sec x + \tan x|\bigr).
$$Dividindo por 4, obtemos
.
Passo 6
Por fim, somamos com a parte de
. A antiderivada geral é a soma das duas partes calculadas acima, mais a constante
.