Use a derivação implícita para determinar d yd x na seguinte função
x cos y=e^x+y

Passo 1

O enunciado pede para usar diferenciação implícita na relação xcos y = e^x+y. O conteúdo aqui é derivada implícita, e vamos precisar do produto para xcos y, da regra da cadeia para cos y e da derivada de e^x+y.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos produto em xcos y:
ddx(xcos y) = 1cdotcos y + xcdotddx(cos y)
Como y depende de x, usamos regra da cadeia:
ddx(cos y) = -sin ycdotdydx
No lado direito, derivada de e^x+y é
ddx(e^x+y) = e^x+ycdotddx(x+y) = e^x+y(1 + dydx)

Passo 3

Substituindo as derivadas, obtemos:
cos y + xl(-sin y,dydxr) = e^x+yl(1 + dydxr)
Ou seja:
cos y - xsin y,dydx = e^x+y + e^x+y,dydx

Passo 4

Agora, vamos isolar dydx. Passo todos os termos sem dydx para um lado e os com dydx para o outro:
cos y - e^x+y = xsin y,dydx + e^x+y,dydx = (xsin y + e^x+y)dydx

Passo 5

Finalmente, dividindo ambos os lados por (xsin y + e^x+y), ficamos com:
dydx = cos y - e^x+yxsin y + e^x+y

Resposta

dydx = cos y - e^x+yxsin y + e^x+y

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