Calcule a integral da série de potências
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
ou seja, aplicar conceitos de séries de potências e integração termo a termo.
Passo 2
A série
tem raio de convergência 2, logo converge uniformemente em
. Por isso podemos trocar soma e integral:
Passo 3
Calculamos a integral de cada termo:
Para ímpar
, e para
(par) temos
Para
Substituindo na soma, só ficam os
:
Passo 4
Para
temos
, então cada termo é
Logo a integral vira
Passo 5
É uma série geométrica com
e
, cujo somatório é
. Multiplicando por 2 obtemos