Calcule a integral da série de potências sumn=0^infty (n+1) x^n2^n no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-1^1 sumn=0^infty (n+1)x^n2^n ,dx
ou seja, aplicar conceitos de séries de potências e integração termo a termo.

Passo 2

A série sumn=0^infty (n+1)x^n2^n tem raio de convergência 2, logo converge uniformemente em [-1,1]. Por isso podemos trocar soma e integral:
integral-1^1 sumn=0^infty (n+1)x^n2^n ,dx = sumn=0^infty (n+1)2^n integral-1^1 x^n ,dx

Passo 3

Calculamos a integral de cada termo:
Para n ímpar integral-1^1 x^n ,dx=0, e para n=2k (par) temos
integral-1^1 x^2k ,dx = 22k+1
Substituindo na soma, só ficam os n=2k:

Passo 4

Para n=2k temos n+1=2k+1, então cada termo é
(2k+1)2^2k cdot 22k+1 = 24^k
Logo a integral vira
sumk=0^infty 24^k = 2sumk=0^infty l(14r)^k

Passo 5

É uma série geométrica com a=1 e r=1/4, cujo somatório é 1/(1-1/4)=4/3. Multiplicando por 2 obtemos
2 cdot 43 = 83

Resposta

83

Exercícios relacionados