Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=e^xx^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=ex/x2; o conteúdo envolvido é derivação de função quociente (ou produto), e vamos usar a regra do produto combinada com derivação de potência.

Passo 2

Reescrevo f(x) como um produto para facilitar: f(x)=ex·x{-2}.

Passo 3

Recordo a regra do produto: se u(x)=e^x e v(x)=x^{-2}, então f’(x)=(u·v)’=u’·v+u·v’.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais: u’(x)=e^x e, usando a regra de potência, v’(x)=(-2)·x{-3}=-2x{-3}.

Passo 5

Substituo na expressão da regra do produto: f’(x)=ex·x{-2}+ex·(-2x{-3}).

Passo 6

Faço fatoração de ex·x{-3}: f’(x)=ex·x{-3}(x-2).

Passo 7

Concluo que a forma simplificada da derivada é f’(x)= e^x(x-2)/x^3.

Resposta

f'(x)=e^x(x-2)x^3

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