Determine o intervalo de convergência das seguintes séries:
sumn=0^infty(-1)^n+1 x^n

Passo 1

O enunciado quer que a gente encontre o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty(-1)^n+1x^n. Isso é conteúdo de séries de potências e a ideia é achar o raio de convergência usando um teste (por exemplo, o critério da razão) e depois checar os extremos.

Passo 2

Para séries de potências sum an x^n, o critério da razão diz que a série converge se L=limntoinfty|an+1x^n+1an x^n|<1. Aqui temos an=(-1)^n+1.
Vamos calcular o limite do módulo da razão entre termos consecutivos:
L=limntoinfty|(-1)^(n+1)+1x^n+1(-1)^n+1x^n|=limntoinftyl|(-1),xr|=|x|

Passo 3

Daí a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Isso nos dá raio de convergência R=1 e intervalo aberto (-1,1) até agora.
Precisamos ainda checar os extremos:
Para x=1 a série vira sum(-1)^n+1, cujos termos não tendem a zero e os somatórios oscilam, então diverge.
Para x=-1 temos cada termo igual a (-1)^n+1(-1)^n=(-1)^2n+1=-1, logo a série é sum(-1) e diverge também.

Passo 4

Como nos dois casos de extremos não há convergência, o intervalo de convergência final é apenas o aberto (-1,1).

Resposta

(-1,1)

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