Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=xe^x

Passo 1

Temos a função f(x)=xe^x e queremos encontrar f'(x). O conteúdo envolvido é derivada de produto (ou quociente) e derivada de exponencial, usando também regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo f de modo mais prático:
f(x)=x,e^-x

Passo 3

Identificamos duas funções: u(x)=x e v(x)=e^-x. Vamos precisar das derivadas u'(x) e v'(x).

Passo 4

Calculando cada derivada:
u'(x)=1 e, pela regra da cadeia em e^-x, temos
$$
v’(x)=\bigl(e^{-x}\bigr)

Passo 5

=-e^{-x}.
$$

Passo 6

Aplicando a regra do produto f'=u'v+u,v':
f'(x)=1cdot e^-x+xcdot(-e^-x)=e^-x-x e^-x

Passo 7

Por fim, fatoramos e^-x para simplificar:
f'(x)=e^-x(1-x)

Passo 8

Se quisermos voltar ao denominador e^x, escrevemos
f'(x)=1-xe^x

Resposta

f'(x)=1-xe^x

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