Calcule a integral.
integral sin 5 theta sin theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin5theta,sintheta,dtheta. Esse problema cai em identidades trigonométricas, e vamos usar uma fórmula que transforma produto de senos em soma de cossenos.

Passo 2

A identidade produto-para-soma relevante é sin A,sin B = 12l(cos(A-B)-cos(A+B)r) Ela nos permite reescrever o integrando de forma mais amigável para integração.

Passo 3

Aplicando a identidade com A=5theta e B=theta temos sin5theta,sintheta = 12l(cos(5theta-theta)-cos(5theta+theta)r)=12l(cos4theta-cos6thetar)

Passo 4

Substituindo na integral e separando termos: integral sin5theta,sintheta,dtheta = 12integrall(cos4theta-cos6thetar)dtheta = 12l(integralcos4theta,dtheta - integralcos6theta,dthetar)

Passo 5

Para integrar usamos integralcos ktheta,dtheta=1ksin ktheta. Assim: integralcos4theta,dtheta=14sin4theta, integralcos6theta,dtheta=16sin6theta Substituindo e simplificando coeficientes obtém-se o resultado final.

Resposta

18,sin4theta - 112,sin6theta + C

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