Calcule a integral de
sobre a região limitada pelo cone
e pelo semihiperbolóide
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de volume
onde
é a região limitada abaixo pelo cone
e acima pelo semihiperbolóide
O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas e integração triplamente iterada.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos
com
,
e elemento de volume
.
As superfícies ficam
As superfícies ficam
Elas se intersectam quando
Passo 3
Assim a integral vira
Podemos reescrever como
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Logo o integrando em
é
Passo 5
Agora integramos em
e
:
Compute
Portanto a integral total é