Calcule a integral de f(x, y, z)=z sobre a região limitada pelo cone z=\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}} e pelo semihiperbolóide z=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de volume
\iiint_{R} z\,dV
onde R é a região limitada abaixo pelo cone
z = \sqrt{2x^2 + 2y^2}
e acima pelo semihiperbolóide
z = \sqrt{x^2 + y^2 + 1}.
O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas e integração triplamente iterada.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com r\ge0, \theta\in[0,2\pi) e elemento de volume dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
As superfícies ficam
\text{cone: } z = \sqrt2\,r, \quad \text{hiperbolóide: } z = \sqrt{r^2 + 1}.ó
Elas se intersectam quando
\sqrt2\,r = \sqrt{r^2 +1} \;\Longrightarrow\; 2r^2 = r^2 +1 \;\Longrightarrow\; r^2 = 1 \;\Longrightarrow\; r = 1.

Passo 3

Assim a integral vira
\iiint_{R} z\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{1}\!\int_{z=\sqrt2\,r}^{\sqrt{r^2+1}} z \;\bigl(r\,dz\bigr)\,dr\,d\theta.
Podemos reescrever como
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!r \Bigl(\int_{\sqrt2\,r}^{\sqrt{r^2+1}} z\,dz\Bigr) dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos a integral interna em z:
\int_{\sqrt2\,r}^{\sqrt{r^2+1}} z\,dz = \left[\frac{z^2}{2}\right]_{z=\sqrt2\,r}^{z=\sqrt{r^2+1}} = \frac{1}{2}\Bigl((r^2+1) - 2r^2\Bigr) = \frac{1 - r^2}{2}.
Logo o integrando em r,\theta é
r \cdot \frac{1 - r^2}{2} = \frac{r\,(1 - r^2)}{2}.

Passo 5

Agora integramos em r e \theta:
\iiint_{R} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \frac{r\,(1 - r^2)}{2} \,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{1}r\,(1 - r^2)\,dr = \pi \int_{0}^{1}\bigl(r - r^3\bigr)\,dr.
Compute
\int_{0}^{1}(r - r^3)\,dr = \left[\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac12 - \frac14 = \frac14.
Portanto a integral total é
\pi \cdot \frac14 = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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