Calcule, usando coordenadas esféricas, \iiint_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V, onde S é o sólido acima do cone z=-\sqrt{3 x^{2}+3 y^{2}} e interior à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iiint_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dV
onde S é o sólido interior à esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
e “acima” do cone
z = -\sqrt{3(x^{2}+y^{2})}.
O método sugerido é usar coordenadas esféricas, em que
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho e o elemento de volume
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Em esféricas, a esfera vira a condição
0 \le \rho \le 2,
e o cone satisfaz
\rho\cos\varphi = -\sqrt{3}\,\rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi = -\sqrt{3}\,\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{5\pi}{6}.
“Acima do cone” significa z\ge -\sqrt{3(x^{2}+y^{2})}, ou seja
0 \le \varphi \le \frac{5\pi}{6}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

O integral em esféricas fica
I = \int_{0}^{2} \int_{0}^{5\pi/6} \int_{0}^{2\pi} \rho \;\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr) \,d\theta\,d\varphi\,d\rho = \int_{0}^{2}\!\int_{0}^{5\pi/6}\!\int_{0}^{2\pi} \rho^{3}\sin\varphi \,d\theta\,d\varphi\,d\rho.

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{5\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{5\pi/6} = -\Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\Bigr) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2},
\int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho = \frac{\rho^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} = 4.
Multiplicando tudo:
I = 2\pi \times \Bigl(1 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\times 4 = 8\pi\Bigl(1 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = 4\pi\bigl(2 + \sqrt{3}\bigr).

Resposta

4\pi\,(2 + \sqrt{3})

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