Exprima a integral
como integral iterada em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado dá a integral em coordenadas cilíndricas
e pede para reescrevê-la em coordenadas esféricas
, onde
– é a distância à origem,
– é o ângulo feito com o eixo
(0 em
, até
),
– é o mesmo ângulo azimutal do cilindro (
a
).
Para isso vamos (1) descrever os limites em esféricas e (2) transformar ,
e o elemento de volume.
–
–
–
Para isso vamos (1) descrever os limites em esféricas e (2) transformar
Passo 2
Descrevendo o domínio em esféricas:
– Como vai de
até a semiesfera
, temos
.
– Em o cilindro cobre o semicírculo
,
. Em esféricas isso vira
,
.
Logo os limites são
– Como
– Em
Logo os limites são
Passo 3
Transformação do integrando e do elemento de volume:
– Em coordenadas cilíndricas e
.
– O fator torna-se
– Em coordenadas cilíndricas
– O fator
– O elemento de volume esférico vale
.
Multiplicando, o integrando total fica
Multiplicando, o integrando total fica
Passo 4
Montando a integral iterada em esféricas: