Exprima a integral \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{25-r^{2}}} r^{2} \operatorname{sen} \theta d z d r d \theta como integral iterada em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado dá a integral em coordenadas cilíndricas
\int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{r=0}^{5}\!\int_{z=0}^{\sqrt{25-r^{2}}} r^{2}\,\sin\theta \;dz\,dr\,d\theta
e pede para reescrevê-la em coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta), onde
\rho é a distância à origem,
\varphi é o ângulo feito com o eixo z (0 em z\ge0, até \pi),
\theta é o mesmo ângulo azimutal do cilindro ( 0 a \pi).
Para isso vamos (1) descrever os limites em esféricas e (2) transformar r, z e o elemento de volume.

Passo 2

Descrevendo o domínio em esféricas:
– Como z vai de 0 até a semiesfera z=\sqrt{25-r^{2}}, temos \varphi\in[0,\pi/2].
– Em r,\theta o cilindro cobre o semicírculo r\in[0,5], \theta\in[0,\pi]. Em esféricas isso vira \rho\in[0,5], \theta\in[0,\pi].
Logo os limites são
0\le\theta\le\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi2,\quad 0\le\rho\le5.

Passo 3

Transformação do integrando e do elemento de volume:
– Em coordenadas cilíndricas r=\rho\sin\varphi e z=\rho\cos\varphi.
– O fator r^{2}\sin\theta torna-se
r^{2}\sin\theta = (\rho\sin\varphi)^{2}\,\sin\theta = \rho^{2}\sin^{2}\!\varphi\,\sin\theta.
– O elemento de volume esférico vale \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Multiplicando, o integrando total fica
(\rho^{2}\sin^{2}\!\varphi\,\sin\theta)\times(\rho^{2}\sin\varphi) =\rho^{4}\,\sin^{3}\!\varphi\,\sin\theta.

Passo 4

Montando a integral iterada em esféricas:
\int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\varphi=0}^{\frac\pi2} \int_{\rho=0}^{5} \rho^{4}\,\sin^{3}\!\varphi\,\sin\theta \;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Resposta

\int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\varphi=0}^{\frac\pi2} \int_{\rho=0}^{5} \rho^{4}\,\sin^{3}\!\varphi\,\sin\theta \;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

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