\begin{aligned} \int \cos 2 x d x & \int x e^{-x^{2}} d x \\\ \int x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x & \int \operatorname{sen} x \cos x d x \\\ \int \frac{x^{3}}{x^{4}-5} d x & \int \sqrt{2 t+1} d t \\\ \int \frac{1+x}{1+x^{2}} d x & \int x^{2} \sqrt{2+x} d x \\\ \int_{0}^{1} \cos (\pi t / 2) d t & \int_{0}^{1} \sqrt{1+7 x} d x \\\ \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4}\left(x^{3}+x^{4} \tan x\right) d x & \int_{0}^{\pi / 2} \cos x \operatorname{sen}(\operatorname{sen} x) d x \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede calcular as seguintes integrais (vou listar exatamente as expressões que devemos encontrar):
Agora vamos resolver uma a uma, usando substituição quando for natural. Vou explicar sempre o porquê da escolha da substituição e mostrar cada passo de álgebra.
Passo 2
Integral 1: \displaystyle \int \cos 2x\,dx.
Escolha de substituição: escolher u=2x é natural porque o argumento do cosseno é 2x. Então du=2\,dx, ou seja dx=\dfrac{du}{2}.
Transformando a integral:
\frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin(2x) + C.
Resposta final para (1): \displaystyle \frac{1}{2}\sin(2x)+C.
Passo 4
Integral 2: \displaystyle \int x e^{-x^{2}}\,dx.
Ideia de substituição: o expoente é -x^{2}; a derivada de x^{2} é 2x, que aparece multiplicando. Então faça u=x^{2} (ou u=-x^{2}); vou usar u=x^{2}. Logo du=2x\,dx, isto é x\,dx=\dfrac{du}{2}.
Transformação:
\int x e^{-x^{2}}\,dx = \int e^{-u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^{-u}\,du.
Passo 5
Continuando a Integral 2: integrar e voltar.
\frac{1}{2}\int e^{-u}\,du = \frac{1}{2}(-e^{-u}) + C = -\frac{1}{2}e^{-u}+C = -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C.
Resposta final para (2): \displaystyle -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C.
Passo 6
Integral 3: \displaystyle \int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx.
Observação: dentro da raiz aparece x^{3}+1 e sua derivada é 3x^{2}, que está presente (até constante). Portanto escolha u=x^{3}+1. Então du=3x^{2}\,dx, logo x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3}.
Transformação:
Integral 5: \displaystyle \int \frac{x^{3}}{x^{4}-5}\,dx.
Escolha de substituição: o denominador é x^{4}-5 e sua derivada é 4x^{3}, que aparece no numerador até constante. Tome u=x^{4}-5. Então du=4x^{3}\,dx, logo x^{3}\,dx=\dfrac{du}{4}.
Transformação e integração:
Então integramos cada parcela. Para a primeira parcela use u=1+x^{2} (pois du=2x\,dx). A segunda é a forma padrão de \arctan.
Passo 13
Integração da Integral 7, parcela a parcela:
Para \displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx: com u=1+x^{2}, du=2x\,dx então \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}).
Para \displaystyle \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan x.
Somando:
\boxed{\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+\arctan x + C.}
Passo 14
Integral 8: \displaystyle \int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx.
Uma substituição conveniente é u=2+x (isso simplifica a raiz). Então x=u-2, dx=du e x^{2}=(u-2)^{2}. Substituindo:
Calcule 8^{3/2}: 8^{3/2}= (8^{1/2})^{3}=(2\sqrt{2})^{3}=16\sqrt{2}. Assim
\frac{2}{21}(16\sqrt{2}-1).
Passo 20
Integral 11 (definida e com simetria): \displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\big(x^{3}+x^{4}\tan x\big)\,dx.
Analisar paridade:
A função x^{3} é ímpar (x^{3}(-x)=-x^{3}). Integral de uma função ímpar em intervalo simétrico [-a,a] é 0.
Para x^{4}\tan x: x^{4} é par (pois x^{4}(-x)=x^{4}) e \tan x é ímpar (\tan(-x)=-\tan x). Produto par·ímpar é ímpar. Logo x^{4}\tan x é ímpar e sua integral em [-a,a] também é 0.
Portanto a integral total é 0+0=0.
Passo 21
Integral 12: \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,\sin(\sin x)\,dx.
Substituição direta e elegante: tomar u=\sin x porque du=\cos x\,dx. Mudar limites: x=0\Rightarrow u=0, x=\pi/2\Rightarrow u=1.
Transformação: