Calcule a integral (Substituição):
\begin{aligned} \int \cos 2 x d x & \int x e^{-x^{2}} d x \\\ \int x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x & \int \operatorname{sen} x \cos x d x \\\ \int \frac{x^{3}}{x^{4}-5} d x & \int \sqrt{2 t+1} d t \\\ \int \frac{1+x}{1+x^{2}} d x & \int x^{2} \sqrt{2+x} d x \\\ \int_{0}^{1} \cos (\pi t / 2) d t & \int_{0}^{1} \sqrt{1+7 x} d x \\\ \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4}\left(x^{3}+x^{4} \tan x\right) d x & \int_{0}^{\pi / 2} \cos x \operatorname{sen}(\operatorname{sen} x) d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede calcular as seguintes integrais (vou listar exatamente as expressões que devemos encontrar):
  1. \displaystyle \int \cos 2x\,dx
  2. \displaystyle \int x e^{-x^{2}}\,dx
  3. \displaystyle \int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx
  4. \displaystyle \int \sin x\cos x\,dx
  5. \displaystyle \int \frac{x^{3}}{x^{4}-5}\,dx
  6. \displaystyle \int \sqrt{2t+1}\,dt
  7. \displaystyle \int \frac{1+x}{1+x^{2}}\,dx
  8. \displaystyle \int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx
  9. \displaystyle \int_{0}^{1}\cos\!\Big(\frac{\pi t}{2}\Big)\,dt
  10. \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1+7x}\,dx
  11. \displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\big(x^{3}+x^{4}\tan x\big)\,dx
  12. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,\sin(\sin x)\,dx
Agora vamos resolver uma a uma, usando substituição quando for natural. Vou explicar sempre o porquê da escolha da substituição e mostrar cada passo de álgebra.

Passo 2

Integral 1: \displaystyle \int \cos 2x\,dx.
Escolha de substituição: escolher u=2x é natural porque o argumento do cosseno é 2x. Então du=2\,dx, ou seja dx=\dfrac{du}{2}.
Transformando a integral:
\int \cos 2x\,dx = \int \cos u\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos u\,du.

Passo 3

Continuando a Integral 1: integrar e voltar a x.
\frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin(2x) + C.
Resposta final para (1): \displaystyle \frac{1}{2}\sin(2x)+C.

Passo 4

Integral 2: \displaystyle \int x e^{-x^{2}}\,dx.
Ideia de substituição: o expoente é -x^{2}; a derivada de x^{2} é 2x, que aparece multiplicando. Então faça u=x^{2} (ou u=-x^{2}); vou usar u=x^{2}. Logo du=2x\,dx, isto é x\,dx=\dfrac{du}{2}.
Transformação:
\int x e^{-x^{2}}\,dx = \int e^{-u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^{-u}\,du.

Passo 5

Continuando a Integral 2: integrar e voltar.
\frac{1}{2}\int e^{-u}\,du = \frac{1}{2}(-e^{-u}) + C = -\frac{1}{2}e^{-u}+C = -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C.
Resposta final para (2): \displaystyle -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C.

Passo 6

Integral 3: \displaystyle \int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx.
Observação: dentro da raiz aparece x^{3}+1 e sua derivada é 3x^{2}, que está presente (até constante). Portanto escolha u=x^{3}+1. Então du=3x^{2}\,dx, logo x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3}.
Transformação:
\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du.

Passo 7

Continuando a Integral 3: integrar e voltar.
\frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{2}{9}u^{3/2}+C.
Voltando a x:
\boxed{\frac{2}{9}(x^{3}+1)^{3/2}+C.}

Passo 8

Integral 4: \displaystyle \int \sin x\cos x\,dx.
Estratégia: podemos usar substituição u=\sin x porque du=\cos x\,dx. Então:
\int \sin x\cos x\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C = \frac{\sin^{2}x}{2}+C.

Passo 9

Integral 5: \displaystyle \int \frac{x^{3}}{x^{4}-5}\,dx.
Escolha de substituição: o denominador é x^{4}-5 e sua derivada é 4x^{3}, que aparece no numerador até constante. Tome u=x^{4}-5. Então du=4x^{3}\,dx, logo x^{3}\,dx=\dfrac{du}{4}.
Transformação e integração:
\int \frac{x^{3}}{x^{4}-5}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln|u|+C.
Voltando a x:
\boxed{\frac{1}{4}\ln|x^{4}-5|+C.}

Passo 10

Integral 6: \displaystyle \int \sqrt{2t+1}\,dt.
Substituição natural: u=2t+1 du=2\,dt, logo dt=\dfrac{du}{2}.
Transformação:
\int \sqrt{2t+1}\,dt = \int u^{1/2}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 11

Continuando a Integral 6: integrar e voltar.
\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{1}{3}u^{3/2}+C.
Voltando:
\boxed{\frac{1}{3}(2t+1)^{3/2}+C.}

Passo 12

Integral 7: \displaystyle \int \frac{1+x}{1+x^{2}}\,dx.
Método prático: separar o numerador para simplificar:
\frac{1+x}{1+x^{2}} = \frac{x}{1+x^{2}} + \frac{1}{1+x^{2}}.
Então integramos cada parcela. Para a primeira parcela use u=1+x^{2} (pois du=2x\,dx). A segunda é a forma padrão de \arctan.

Passo 13

Integração da Integral 7, parcela a parcela:
Para \displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx: com u=1+x^{2}, du=2x\,dx então \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}).
Para \displaystyle \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan x.
Somando:
\boxed{\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+\arctan x + C.}

Passo 14

Integral 8: \displaystyle \int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx.
Uma substituição conveniente é u=2+x (isso simplifica a raiz). Então x=u-2, dx=du e x^{2}=(u-2)^{2}. Substituindo:
\int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx = \int (u-2)^{2} u^{1/2}\,du.

Passo 15

Continuando a Integral 8: expandir e integrar termo a termo.
Primeiro expandir:
(u-2)^{2}u^{1/2} = (u^{2}-4u+4)u^{1/2} = u^{5/2} -4u^{3/2} +4u^{1/2}.
Agora integrar cada potência:
\int u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}u^{7/2}, \quad \int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}, \quad \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Juntando com coeficientes:
\int (u^{5/2} -4u^{3/2} +4u^{1/2})\,du = \frac{2}{7}u^{7/2} -4\cdot\frac{2}{5}u^{5/2} +4\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C.
Simplificando constantes:
\boxed{\frac{2}{7}u^{7/2} - \frac{8}{5}u^{5/2} + \frac{8}{3}u^{3/2} + C.}
Voltando para x com u= x+2:
\boxed{\frac{2}{7}(x+2)^{7/2} - \frac{8}{5}(x+2)^{5/2} + \frac{8}{3}(x+2)^{3/2} + C.}

Passo 16

Integral 9 (definida): \displaystyle \int_{0}^{1}\cos\!\Big(\frac{\pi t}{2}\Big)\,dt.
Substituição: u=\dfrac{\pi t}{2} du=\dfrac{\pi}{2}\,dt, então dt=\dfrac{2}{\pi}du. Mudar limites: t=0\Rightarrow u=0, t=1\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{2}.
Transformando:
\int_{0}^{1}\cos\!\Big(\frac{\pi t}{2}\Big)\,dt = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos u\,du.

Passo 17

Continuando a Integral 9: integrar com os novos limites.
\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos u\,du = \frac{2}{\pi}\big[\sin u\big]_{0}^{\pi/2} = \frac{2}{\pi}(1-0)=\frac{2}{\pi}.

Passo 18

Integral 10 (definida): \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1+7x}\,dx.
Substituição: u=1+7x então du=7\,dx, dx=\dfrac{du}{7}. Mudar limites: x=0\Rightarrow u=1, x=1\Rightarrow u=8.
Transformação:
\int_{0}^{1}\sqrt{1+7x}\,dx = \frac{1}{7}\int_{1}^{8}u^{1/2}\,du.

Passo 19

Continuando a Integral 10: integrar e avaliar.
\frac{1}{7}\int_{1}^{8}u^{1/2}\,du = \frac{1}{7}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}\Big|_{1}^{8} = \frac{2}{21}\big(u^{3/2}\big)\Big|_{1}^{8}.
Calcule 8^{3/2}: 8^{3/2}= (8^{1/2})^{3}=(2\sqrt{2})^{3}=16\sqrt{2}. Assim
\frac{2}{21}(16\sqrt{2}-1).

Passo 20

Integral 11 (definida e com simetria): \displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\big(x^{3}+x^{4}\tan x\big)\,dx.
Analisar paridade:
  • A função x^{3} é ímpar ( x^{3}(-x)=-x^{3}). Integral de uma função ímpar em intervalo simétrico [-a,a] é 0.
  • Para x^{4}\tan x: x^{4} é par (pois x^{4}(-x)=x^{4}) e \tan x é ímpar ( \tan(-x)=-\tan x). Produto par·ímpar é ímpar. Logo x^{4}\tan x é ímpar e sua integral em [-a,a] também é 0.
    Portanto a integral total é 0+0=0.

Passo 21

Integral 12: \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,\sin(\sin x)\,dx.
Substituição direta e elegante: tomar u=\sin x porque du=\cos x\,dx. Mudar limites: x=0\Rightarrow u=0, x=\pi/2\Rightarrow u=1.
Transformação:
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,\sin(\sin x)\,dx = \int_{0}^{1}\sin u\,du.

Passo 22

Continuando a Integral 12: integrar \sin u com os limites.
\int_{0}^{1}\sin u\,du = \big[-\cos u\big]_{0}^{1} = -\cos 1 -(-\cos 0) = 1-\cos 1.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sin(2x)+C
\displaystyle -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C
\displaystyle \frac{2}{9}(x^{3}+1)^{3/2}+C
\displaystyle \frac{1}{2}\sin^{2}x+ C
\displaystyle \frac{1}{4}\ln|x^{4}-5|+C
\displaystyle \frac{1}{3}(2t+1)^{3/2}+C
\displaystyle \frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+\arctan x +C
\displaystyle \frac{2}{7}(x+2)^{7/2}-\frac{8}{5}(x+2)^{5/2}+\frac{8}{3}(x+2)^{3/2}+C
\displaystyle \frac{2}{\pi}
\displaystyle \frac{2}{21}\big(16\sqrt{2}-1\big)
\displaystyle 0
\displaystyle 1-\cos 1

Exercícios relacionados