Falso ou verdadeiro? Justifique.
sen 1>0

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação "sen 1>0" é falsa ou verdadeira, e pede justificativa. Informação dada: o argumento do seno é o número 1. Não há indicação explícita de unidade (graus ou radianos), então consideraremos a convenção padrão em matemática: o argumento de funções trigonométricas isoladas é dado em radianos. Portanto a questão é: “é verdade que \sin(1)>0?”

Passo 2

Primeira observação útil: em radianos, a função \sin(x) no círculo unitário corresponde à coordenada vertical y do ponto que forma um ângulo de medida x com o eixo positivo x. No intervalo (0,\pi) os pontos do círculo unitário têm coordenada y positiva, logo \sin(x)>0 para todo x em (0,\pi). Esta é uma propriedade geométrica básica do seno.

Passo 3

Comparar 1 com \pi. Sabendo a aproximação clássica de \pi,
\pi \approx 3,1415\ldots
fica claro que
0 < 1 < \pi.
Como 1 está estritamente entre 0 e \pi, e pela observação do passo anterior \sin(x)>0 para todo x\in(0,\pi), concluímos imediatamente que \sin(1)>0. Essa já é uma justificativa curta e rigorosa.

Passo 4

Para reforçar a intuição (e porque às vezes é bom ver um número concreto), podemos estimar \sin(1) usando a série de Taylor centrada em 0:
\sin(x)=x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}-\dfrac{x^{7}}{7!}+\cdots,
válida para todo x\in\mathbb{R}. Aqui cada termo é explicado: x é o primeiro termo, 3! significa 3\cdot2\cdot1, etc. A série é alternada e converge rapidamente para x pequeno.

Passo 5

Aplicando a série em x=1 e somando alguns termos para obter uma boa aproximação:
\sin(1)=1-\dfrac{1^{3}}{3!}+\dfrac{1^{5}}{5!}-\dfrac{1^{7}}{7!}+\cdots.
Calculemos os primeiros termos numericamente (aproximações decimais para ver o sinal):
1 = 1, \qquad \dfrac{1^{3}}{3!}=\dfrac{1}{6}\approx 0,166666\ldots,
\dfrac{1^{5}}{5!}=\dfrac{1}{120}\approx 0,008333\ldots, \qquad \dfrac{1^{7}}{7!}=\dfrac{1}{5040}\approx 0,0001984\ldots
Somando os primeiros quatro termos:
\sin(1)\approx 1-0,166666+0,008333-0,0001984 \approx 0,8414686\ldots
Já com esses termos vemos claramente um valor positivo, cerca de 0,84147.

Passo 6

Conclusão combinada: pela propriedade geométrica (para todo x com 0<x<\pi vale \sin(x)>0) e pela estimativa numérica via série de Taylor que dá \sin(1)\approx 0,84147>0, a afirmação \sin(1)>0 é verdadeira. Se alguém interpretasse o 1 como graus (ou seja 1^\circ), também teria \sin(1^\circ)>0, mas muito menor; aqui adotamos a convenção padrão de radianos, que é suficiente para concluir.

Resposta

Verdadeiro.

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