Falso ou verdadeiro? Justifique.
sen
sen
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação "sen
" é falsa ou verdadeira, e pede justificativa. Informação dada: o argumento do seno é o número
. Não há indicação explícita de unidade (graus ou radianos), então consideraremos a convenção padrão em matemática: o argumento de funções trigonométricas isoladas é dado em radianos. Portanto a questão é: “é verdade que
?”
Passo 2
Primeira observação útil: em radianos, a função
no círculo unitário corresponde à coordenada vertical
do ponto que forma um ângulo de medida
com o eixo positivo
. No intervalo
os pontos do círculo unitário têm coordenada
positiva, logo
para todo
em
. Esta é uma propriedade geométrica básica do seno.
Passo 3
Comparar
com
. Sabendo a aproximação clássica de
,
fica claro que
Como
está estritamente entre
e
, e pela observação do passo anterior
para todo
, concluímos imediatamente que
. Essa já é uma justificativa curta e rigorosa.
Passo 4
Para reforçar a intuição (e porque às vezes é bom ver um número concreto), podemos estimar
usando a série de Taylor centrada em
:
válida para todo
. Aqui cada termo é explicado:
é o primeiro termo,
significa
, etc. A série é alternada e converge rapidamente para
pequeno.
Passo 5
Aplicando a série em
e somando alguns termos para obter uma boa aproximação:
Calculemos os primeiros termos numericamente (aproximações decimais para ver o sinal):
Somando os primeiros quatro termos:
Já com esses termos vemos claramente um valor positivo, cerca de
.
Passo 6
Conclusão combinada: pela propriedade geométrica (para todo
com
vale
) e pela estimativa numérica via série de Taylor que dá
, a afirmação
é verdadeira. Se alguém interpretasse o
como graus (ou seja
), também teria
, mas muito menor; aqui adotamos a convenção padrão de radianos, que é suficiente para concluir.
Resposta
Verdadeiro.